Lindenbaumova algebra

Lindenbaumova algebra (také Lindenbaum-Tarského algebra) je pojem z oblasti matematické logiky. Slouží k vyjádření struktury množiny formulí co se týče jejich dokazatelnosti v nějaké formální teorii.

DefiniceEditovat

Lindenbaumovy algebry teorieEditovat

Nechť T je bezesporná teorie v jazyce L a m je přirozené číslo. Pro formule   jazyka L mající právě m volných proměnných definujeme  , pokud v T je dokazatelné  . Označíme   množinu všech tříd ekvivalence  . m-tá Lindenbaumova algebra teorie T je Booleova algebra s nosnou množinou   a operacemi definovanými následovně:

  •  
  •  
  •  
  •   , kde   je nějaká formule s m-volnými proměnnými.
  •   , kde   je nějaká formule s m-volnými proměnnými.

Lindenbaumovy algebry jazykaEditovat

m-tou Lindenbaumovu algebru jazyka L definujeme jako m-tou Lindenbaumovu algebru teorie v jazyce L, která nemá žádné vlastní (tj. mimologické) axiomy.

VlastnostiEditovat

  • 0-tá Lindenbaumova algebra teorie T je dvouprvková, právě když je T úplná teorie.
  • Formule   je nedokazatelná v T, právě když  .
  • Formule   je nevyvratitelná v T, právě když  .

Související článkyEditovat