Kulová úseč

prostorový útvar

V geometrii je kulová úseč část koule odříznutá rovinou. Kulová úseč je těleso. Prochází-li rovina středem koule, tzn. výška kulové úseče se rovná poloměru koule, kulová úseč se pak nazývá polokoule.

Kulová úseč (modře). V dalším textu je použito pro výšku místo označení a pro poloměr kulové úseče místo označení řeckým písmenem , tak jak je běžně používáno v české matematické literatuře

Povrch kulové úseče (bez podstavy) se nazývá kulový vrchlík. Kulový vrchlík je plocha kterou je kulová úseč omezena. Kulový vrchlík si můžeme představit jako „čepičku“.

Objem kulové úseče a povrch kulového vrchlíkuEditovat

Objem kulové úseče a povrch zakřiveného povrchu kulového vrchlíku lze vypočítat pomocí následujících vztahůː

  • Poloměr   koule
  • Poloměr   kruhové podstavy úseče
  • Výška   úseče od středu podstavy úseče k vrcholu úseče (pólu)
  • Polární úhel   mezi přímkou od středu koule k vrcholu úseče (pól) a okrajem podstavy úseče
Použitím   a   Použitím   a   Použitím   a  
Objem      
Plocha      


Vzorce používající   a   lze vyjádřit tak, aby používali poloměr podstavy úseče   místo  , použitím Pythagorovy věty:

 

aby

 

Dosazením do vzorců dostáváme:

 
 


Odvození objemu a plochy povrchu pomocí infinitezimálního počtuEditovat

 
Otáčení zelené oblasti vytváří kulovou čepičku s výškou   a poloměr koule   .

Vzorce objemu a plochy mohou být odvozeny zkoumáním rotace funkce

 

for  , použijeme vztah výpočtu plochy pomocí určitého integrálu a pro výpočet objemu tělesa také za pomocí určitého integrálu.

Výpočet plochy je

 

Derivací finkce f jeː

 

a odtud

 

Vzorec pro tuto oblast je tedy

 

Objem je

 

AplikaceEditovat

Objem průniku dvou protínajících se koulíEditovat

Objem průniku dvou protínajících se koulí poloměrů   a   je

 

kde

 

je součet objemů obou izolovaných koulí a

 

je součet objemů dvou úsečí protínající se koulí. Kde   je vzdálenost středů koulí, s odečtením dvou proměnných   and   leads to

 

Plocha ohraničená dvěma podstavami kulové vrstvyEditovat

Zakřivená plocha kulové vrstvy ohraničená dvěma rovnoběžnými disky je rozdílem povrchových ploch jejich příslušných kulových vrchlíků. Pro oblast poloměru   a čepice s výškami   a  , oblast je

 

nebo při užití zeměpisné polohy se souřadnicemi   and  ,[1]

 

Například, Země je koule s poloměrem 6371 km, plocha artické oblasti (severní arktické oblasti, od souřadnice 66.56° v srpnu 2016[2]) je 2π·63712|sin 90° − sin 66.56°| = 21.04 mil. km2, nebo 0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125% celkové plochy Země.

Tento vzorec lze také použít k prokázání, že polovina povrchové plochy Země leží mezi 30 ° jižní a 30 ° severní šířky ve sférické zóně, která zahrnuje všechny tropické oblasti .

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

LiteraturaEditovat

  • Richmond, Timothy J. (1984). "Solvent accessible surface area and excluded volume in proteins: Analytical equation for overlapping spheres and implications for the hydrophobic effect". J. Mol. Biol. 178 (1): 63–89. doi:10.1016/0022-2836(84)90231-6. PMID 6548264.
  • Lustig, Rolf (1986). "Geometry of four hard fused spheres in an arbitrary spatial configuration". Mol. Phys. 59 (2): 195–207. Bibcode:1986MolPh..59..195L. doi:10.1080/00268978600102011.
  • Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Volume of the intersection of three spheres of unequal size: a simplified formula". J. Phys. Chem. 91 (15): 4121–4122. doi:10.1021/j100299a035.
  • Gibson, K. D.; Scheraga, Harold A. (1987). "Exact calculation of the volume and surface area of fused hard-sphere molecules with unequal atomic radii". Mol. Phys. 62 (5): 1247–1265. Bibcode:1987MolPh..62.1247G. doi:10.1080/00268978700102951.
  • Petitjean, Michel (1994). "On the analytical calculation of van der Waals surfaces and volumes: some numerical aspects". Int. J. Quantum Chem. 15 (5): 507–523. doi:10.1002/jcc.540150504.
  • Grant, J. A.; Pickup, B. T. (1995). "A Gaussian description of molecular shape". J. Phys. Chem. 99 (11): 3503–3510. doi:10.1021/j100011a016.
  • Busa, Jan; Dzurina, Jozef; Hayryan, Edik; Hayryan, Shura (2005). "ARVO: A fortran package for computing the solvent accessible surface area and the excluded volume of overlapping spheres via analytic equations". Comput. Phys. Commun. 165 (1): 59–96. Bibcode:2005CoPhC.165...59B. doi:10.1016/j.cpc.2004.08.002.