Kreační operátor

Kreační a anihilační operátory byly původně zavedeny jako pomůcka pro řešení lineárního harmonického oscilátoru. Později nalezly značné uplatnění ve formalizmu obsazovacích čísel u nerozlišitelných částic, případně teorii pole.

Lineární harmonický oscilátorEditovat

U lineárního harmonického oscilátoru zavádíme anihilační operátor v energiové bázi takto:

 

Matice tohoto operátoru má tedy tvar:

 


Hermitovským sdružením matice získáme vztah pro operátor kreační:

 

Speciálně od je zřejmé, že:  

Případně, že:

 

Vidíme tedy, že n-tý energetický stav je až na konstantu dán n-násobným působením kreačního operátoru na vektor  , který nazýváme vakuum.

Pro další výpočty je užitečná komutační relace, kterou lze snadno odvodit z definice:

 

Z definic je taktéž zřejmé, že definujeme-li operátor   jako

 ,

pak pro diagonální maticové elementy platí:

 

Tento operátor tedy odpovídá měřitelné (??), jenž udává v kolikáté energetické hladině se systém nalézá. Z důvodu, jenž bude zřejmý později, tento operátor nazýváme operátorem počtu částic.

Reprezentace obsazovacích číselEditovat

Reprezentace obsazovacích čísel je s výhodou používána u systémů skládajícího se z několika identických částic, bosonů nebo fermionů. Výhodou tohoto popisu je skutečnost, že takto zapsané vektory automaticky splňují podmínky související s nerozlišitelností částic.