Kofinál

(přesměrováno z Kofinalita)

Kofinál či také kofinalita limitního ordinálu je matematický pojem z oblasti teorie množin (ordinální aritmetiky). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.

DefiniceEditovat

Pojem kofinality má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy   budou označovat libovolná ordinální čísla a   budou označovat vždy limitní ordinály.

Kofinální podmnožinaEditovat

Řekneme, že množina   je kofinální podmnožinou  , existuje-li pro každé   takové  , že  . Říkáme také, že A je kofinální s  .

Například

  • množina   je kofinální podmnožina ordinálu  .
  • množina   je kofinální podmnožina ordinálu  .
  • množina   je kofinální podmnožina ordinálu   pro každé  .

Kofinál a kofinalitaEditovat

Kofinálem limitního ordinálu   rozumíme nejmenší ordinál   takový, že existuje množina   kofinální s  , jejímž ordinálním typem je   (tj. A je  -izomorfní s  ). Kofinál limitního ordinálu   se značí  .

Kofinalitou   rozumíme mohutnost (kardinalitu)  . Lze ukázat, že pro každé   je   kardinální číslo, a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například

  •  
  •  
  •   pro každé  

Regulární a singulární ordinálEditovat

Limitní ordinál, který je roven své kofinalitě se nazývá regulární. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá singulární.

VlastnostiEditovat

  • Pro každý limitní ordinál   platí  
  • Pro každý limitní ordinál   platí  .
  • Pro všechna   je   kardinální číslo.

Dále za předpokladu axiomu výběru:

  • Pro každý nekonečný kardinál   platí  .

Související článkyEditovat