Graduovaný okruh

Graduovaný okruh je v abstraktní algebře označení pro takový okruh, u kterého platí, že grupa, kterou tvoří jeho prvky spolu se sčítáním, je rovna direktnímu součtu svých podgrup $\bigoplus R_{i}$, přičemž platí $R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}$, tedy $\forall x\in R_{j},y\in R_{j}:x\cdot y\in R_{i+j}$. Nenulový prvek podgrupy $R_{n}$ se v tomto kontextu označuje za homogenní prvek stupně n.

Příklady

• Takto formulovanou definici splňuje triviálně každý okruh $R$, je-li položeno $R_{0}=R$ a $R_{i}=0$ pro $i\neq 0$. Obvykle se tedy graduovaným okruhem rozumí takový okruh, který definici splňuje netriviálně.
• Klasickým příkladem je polynomiální okruh v n proměnných $R=k[t_{1},\dots ,t_{n}]$, ve kterém jsou jednotlivá $R_{i}$ tvořeny homogenními polynomy právě stupně $i$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Graded ring na anglické Wikipedii.