Dirichletova beta funkce

Dirichletova beta funkce je speciální funkcí, úzce související s Riemannovou zeta funkcí.

Graf Dirichletovy beta funkce

Definice

Dirichletova beta funkce je definována (za předpokladu Re(s) > 0) jako:

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},$

nebo ekvivalentně

$\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.$

Funkci lze analyticky rozšířit na celou komplexní rovinu:

$\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s),$

kde Γ(s) je gama funkce.

Vybrané speciální hodnoty

$\beta (0)={\frac {1}{2}},$

$\beta (1)\;=\;\mathrm {arctg} (1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},$

$\beta (2)\;=\;0{,}915965594177219015\ldots$ má speciální název Catalanova konstanta,

$\beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},$

$\beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},$

$\beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}}.$

Externí odkazy

• (anglicky) Dirichletova beta funkce na serveru MathWorld

Portály: Matematika