Chaitinovo číslo

Chaitinovo číslo, Ω, někdy také Chaitinova konstanta, je matematická konstanta definovaná

\Omega =\sum _{x\in \{0,1\}^{*}:U(x)\rightarrow STOP}2^{-l(x)}

Součet je veden přes všechny konečné posloupnosti 0 a 1 takové, že univerzální Turingův stroj $U$ pro danou posloupnost $x$ na vstupu zastaví; $l(x)$ je délka $x$ . Z Kraftovy nerovnosti plyne, že suma je omezená a tedy dokazatelně konverguje k reálnému číslu, pro nějž platí $0<\Omega <1$ . Toto reálné číslo však nelze žádným algoritmem spočítat s přesností vyšší než striktně daný počet binárních míst; speciálně pak neexistuje algoritmus schopný hodnotu Chaitinova čísla libovolně aproximovat. Znalost hodnoty $\Omega$ s dostatečnou přesností by totiž řešila problém zastavení, o němž Alan Turing dokázal, že je algoritmicky neřešitelný.

Chaitinovo číslo je tedy reálné číslo, pro nějž je matematicky dokazatelné, že jej nebudeme umět nikdy spočítat ani se k jeho hodnotě přiblížit nad určitou mez přesnosti.

Vlastnosti

Chaitinovo číslo $\Omega$ je rovno limitě pravděpodobnosti, že univerzální Turingův stroj zastaví pro náhodně generovanou posloupnost délky $n$ nul a jedniček na vstupu, je-li tato generována jako iid z alternativního rozdělení s parametrem $p=1/2$

Ve dvojkovém zápisu prvních $n$ znaků hodnoty $\Omega$ se poměr 0 a 1 blíží $1/2$ . Odpovídající vlastnost platí rovněž pro zápis $\Omega$ v soustavě s libovolným základem.

Obecněji jakákoli předem dané binární slovo se ve dvojkovém zápise $\Omega$ vyskytuje s četností odpovídající jeho pravděpodobnosti při iid generování z alternativního rozdělení s parametrem $p=1/2$ . Vlastnost rovněž zůstává zachována také pro zápis $\Omega$ v soustavě s libovolným základem $d$ ; pravděpodobnost je nutno přepočítat pro diskrétní rovnoměrné rozdělení s parametrem $d$

Chaitinovo číslo je transcendentní reálné číslo a je tedy i iracionální.