Cantorova věta o průniku kompaktů

Věta

Cantorova věta o průniku kompaktů tvrdí: Nechť je posloupnost do sebe vnořených neprázdných kompaktů. Pak jejich průnik je neprázdná množina.

DůkazEditovat

Zvolím posloupnost   tak, že pro každé přirozené číslo   je  . Díky tomu, že   je kompakt, lze z této posloupnosti vybrat podposloupnost konvergující k  .

Dále si všimnu, že pro každé   leží všechny členy od jistého indexu této vybrané podposloupnosti uvnitř   (díky způsobu, jakým jsou do sebe kompakty vnořeny). To platí pro každé přirozené číslo  , tedy průnik až do nekonečna je neprázdný.

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat