Cantorova–Bernsteinova věta

(přesměrováno z Cantor-Bernsteinova věta)

Cantorova-Bernsteinova věta (také Cantorova-Schröderova-Bernsteinova věta) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které má zásadní význam pro srovnávání nekonečných mohutností.

ZněníEditovat

Nejpřirozenější formulací Cantorovy-Bernsteinovy věty je následující:

Má-li množina A mohutnost menší nebo rovnu než množina B a množina B má mohutnost menší nebo rovnu než množina A, pak množiny A,B mají stejnou mohutnost.

Zapracujeme-li do této formulace i definici pojmu mohutnosti, dostaneme zápis o trochu méně srozumitelný, z nějž je však lépe vidět podstata problému:

Existují-li prosté zobrazení množiny A do množiny B, a prosté zobrazení množiny B do množiny A, pak existuje bijekce mezi těmito dvěma množinami.

DůkazEditovat

 
Zobrazení h

Nechť   a   jsou prostá zobrazení. Definujeme zobrazení  , kde P(A) je potenční množina A (množina všech podmnožin A), takto pro   (viz obrázek). Snadno je vidět, že h je monotónní (pro   je  ). Dále se dokáže, že každé monotónní zobrazení mezi P(A) a P(A) má pevný bod (množinu U takovou, že  ). K tomu stačí zvolit  . Nakonec, je-li   pevný bod h, položíme  . Snadno se ověří, že   je bijekce.

HistorieEditovat

Prvním, kdo formuloval tvrzení Cantorovy-Bernsteinovy věty, byl roku 1882 Georg Cantor. Ještě téhož roku se však Cantor svěřil Dedekindovi, že toto tvrzení nedovede dokázat. Cantor pravdivost tohoto tvrzení mnohokrát ohlásil, dokázáno však bylo až v letech 1896 resp. 1897 Friedrichem W. Schröderem a Felixem Bernsteinem.

LiteraturaEditovat