Burnsideův problém

Burnsideův problém je jeden z nejstarších a nejslavnějších problémů z teorie grup. V základní podobě byl formulován roku 1902 Williamem Burnsidem. Později byl zobecněn a ačkoli mnohé speciální případy tohoto problému již byly vyřešeny, v plné obecnosti zůstává i v současnosti (květen 2007) jedním z otevřených problémů.

Obecný Burnsideův problémEditovat

FormulaceEditovat

Nechť G je grupa. Množina   se nazývá množinou generátorů G, lze-li každý prvek G vyjádřit jako konečný součin prvků z X a jejich inverzí (tj. prvků tvaru   pro  ). Grupa se nazývá konečně generovaná, má-li konečnou množinu generátorů.

Grupa G se nazývá periodická (také torzní) pokud ke každému   existuje n, že  .

Obecný Burnsideův problém lze formulovat následujícím způsobem:

Nechť G je konečně generovaná periodická grupa. Musí pak G být konečná?

ŘešeníEditovat

Řešení obecného Burnsideova problému je negativní. V roce 1964 sestrojili Golod a Šafarevič příklad nekonečné periodické konečně generované grupy (jejich grupa byla dokonce p-grupou).

Burnsideův problémEditovat

FormulaceEditovat

Burnsideův problém je upřesněním obecného Burnsideova problému. Zní následovně:

Nechť je dáno přirozené n a grupa G konečně generovaná a splňující   pro všechny své prvky g. Musí pak G být konečná?

Částečná řešeníEditovat

Roku 1968 Adian a Novikov ukázali, že pro každé liché n > 4381 je odpověď negativní. Zajímavou třídou protipříkladů jsou takzvaná Tarského monstra pocházející z roku 1982. V plné obecnosti zůstává problém dodnes nevyřešen.

Omezený Burnsideův problémEditovat

FormulaceEditovat

Omezený Burnsideův problém byl položen v roce 1930. Lze ho formulovat takto:

Existuje jen konečně mnoho (neizomorfních) konečných grup generovaných r prvky a splňujících   pro všechna  , kde r a n jsou daná přirozená čísla?

ŘešeníEditovat

Kladnou odpověď na tento problém podal roku 1991 Zelmanov. Za toto řešení obdržel roku 1994 Fieldsovu medaili. Zelmanovovo řešení používá teorii Lieových algeber.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat