Boltzmannovo rozdělení

rozdělení pravděpodobnosti nebo pravděpodobnostní míra popisující rozdělení energie ve statistické fyzice

Boltzmannovo rozdělení (někdy označované Gibbsovo) je rozdělení pravděpodobnosti nebo pravděpodobnostní míra, používané zejména ve statistické fyzice a matematice. Udává pravděpodobnost, že fyzikální systém bude v jistém stavu, jako funkci energie tohoto stavu a teploty systému. Rozdělení má tvar:

kde pi je pravděpodobnost, že systém bude ve stavu i, εi je energie tohoto stavu a jmenovatel kT je součin Boltzmannovy konstanty k a termodynamické teploty T. Symbol označuje přímou úměrnost; převrácená hodnota konstanty úměrnosti, jež normalizuje pravděpodobnosti tak, aby jejich součet byl roven jedné, se označuje jako partiční funkce.

Pojem systém zde má velmi široký význam; může sahat od jednoho atomu k makroskopickým systémům, jako je zásobník zemního plynu. Z tohoto důvodu lze Boltzmannovo rozdělení použít k řešení velmi široké škály problémů. Vzorec ukazuje, že stavy s nižší energií mají vyšší pravděpodobnost, že budou obsazeny.

Poměr pravděpodobností dvou stavů je označován jako Boltzmannův faktor a závisí pouze na rozdílu energie stavů:

Boltzmannovo rozdělení je pojmenováno podle Ludwiga Boltzmanna, který jej poprvé formuloval v roce 1868 při výzkumu statistické mechaniky plynů v tepelné rovnováze.[1] Rozdělení bylo později podrobně zkoumáno v moderní generické podobě Josiahem Willardem Gibbsem.

Boltzmannovo rozdělení maximalizuje entropii

při okrajové podmínce, že se rovná konkrétní střední hodnotě energie, odpovídající teplotě systému (což lze prokázat pomocí Lagrangeových multiplikátorů).

Boltzmannovo rozdělení není totéž jako Maxwellovo–Boltzmannovo rozdělení. Boltzmannovo rozdělení udává pravděpodobnost, že systém bude v určitém stavu, jako funkci energie tohoto stavu,[2] zatímco Maxwellovo–Boltzmannovo rozdělení popisuje rychlosti částic v idealizovaných plynech.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Boltzmann distribution na anglické Wikipedii.

  1. Archivovaná kopie. crystal.med.upenn.edu [online]. [cit. 2020-07-13]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2021-03-05. 
  2. Atkins, P. W. (2010) Quanta, W. H. Freeman and Company, New York