Zlatý úhel

Zlatý úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kruh na dva úhly (přesněji řečeno na kruhové výseče) α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celému kruhu:

Zlatý úhel

Menší úhel α se označuje řeckým písmenem ψ a rovná se přibližně 137,51° (≈ 2,40 radiánu).

VýpočetEditovat

Výpočet užitím zlatého řezuEditovat

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (φ ≈ 1,618), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

  respektive  
 

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

  respektive  

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého úhlu ψ:

 

Výpočet bez znalosti zlatého řezuEditovat

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého úhlu ψ jinak. V následujícím postupu, který je velmi podobný výpočtu hodnoty zlatého řezu, jsou použity radiány místo stupňů (2π rad = 360°) a je počítána velikost úhlu α, který vlastně představuje hledaný zlatý úhel.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

 
 

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

 
 

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

 

Umocníme závorku a převedeme na jednu stranu.

 
 

Z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α1 a α2.

 
 
 

Je zřejmé, že první kořen α1 je větší než . Tím pro nás ztrácí praktický význam a zanedbáme jej. Získáváme tak hledanou velikost zlatého úhlu ψ.

 

BiologieEditovat

Zlatý úhel je důležitou veličinou v biologii. Listy, které postupně rostou jeden za druhým, se nacházejí na hustě svinuté tzv. genetické spirále. Při pohledu zvrchu lze sledovat úhel mezi spojnicemi středu stonku a následných listů. Všechny listy vyrůstají zhruba ve stejném úhlu kolem středu. Tento úhel se blíží zlatému úhlu.

Podobně vyrůstají například i jednotlivé okvětní lístky květu růže nebo jednotlivá semena na květu slunečnice.

Související článkyEditovat