Základní souřadnicové výpočty (geodézie)

Základní souřadnicové výpočty v geodézii nejčastěji označují výpočet směrníku, délky strany a rajónu. Pomocí těchto základních výpočtů lze dále provádět výpočty složitější. Na území České republiky se v civilním sektoru závazně používá souřadnicový systém S-JTSK, jehož osa x směřuje na jih a osa y na západ. Tato orientace os bude použita i při následujících výpočtech. Při zápisu souřadnic S-JTSK je zvykem zapisovat hodnoty v metrech od počátku v pořadí (y; x).

Směrník

Směrník se označuje řeckým písmenem σ (sigma) a dolním indexem bodů mezi kterými se nachází. Takže σ_A,B je směrník vedoucí z bodu A do bodu B.

Směrník σ_A,B strany AB je úhel, který svírá rovnoběžka s osou x ve směru chodu hodinových ručiček se stranou AB.

Poloha obou směrníků strany AB, modrá barva ukazuje rozdíl 2R

Opačný směrník σ_B,A vycházející z bodu B má oproti σ_A,B rozdíl 2R (180°) nebo v geodézii běžnějších 200^g (gradů). Tudíž platí vztah: σ_A,B = σ_B,A ± 2R. To jestli 2R přičítat nebo odečítat je závislé na tom, aby výsledek dával smysl tzn. musí ležet v rozmezí 0 - 360°.

Výpočet směrníku

Pro výpočty směrníků je nutné zavést pojem souřadnicový rozdíl. Jedná se vlastně o vzdálenost mezi body A a B na souřadnicových osách. Na ose y mezi body AB se značí Δy_A,B a na ose x pak Δx_A,B. Vypočte se jako Δy_A,B = y_B - y_A. Je potřeba pamatovat na to, že indexy jsou na pravé straně rovnice opačně než na levé.

Souřadnicové rozdíly

Velikost směrníků se řídí vzájemnou polohou bodů A a B. Podle těchto poloh nastanou ve výpočtu čtyři různé situace, které nazýváme kvadranty. Nejjednodušší je výpočet v prvním kvadrantu.

Trojúhelník pro výpočet pomocí funkce tangens

Ze souřadnicových rozdílů vznikne pravoúhlý trojúhelník, jehož přepona je právě stranou AB. Pomocí funkce tangens vypočítáme pomocný úhel φ, který je v I. kvadrantu zároveň i výsledným směrníkem σ_A,B. tgφ = (Δy_A,B)/(Δx_A,B)

To v jakém kvadrantu se daný směrník nachází určuje znaménko u souřadnicových rozdílů. Jsou-li oba souřadnicové rozdíly Δy a Δx kladné, jedná se o I. kvadrant. Bude-li však souřadnicový rozdíl Δy kladný a Δx záporný (tzn. že bod B je na ose x blíže počátku než bod A), tak se jedná o II. kvadrant. Směrník ve II. kvadrantu získáme tak, že ze souřadnicových rozdílů opět vypočteme pomocný úhel φ a ten následně odečteme od 2R (180°) viz obrázek.

Pro rozeznání kvadrantů se používá následující tabulka:

Polohy směrníků ve všech kvadrantech, zeleně vyznačen pomocný úhel φ

Δy/Δx	Kvadrant	Dopočet směrníku
+/+	I.	σA,B = φ
+/-	II.	σA,B = 2R - |φ|
-/-	III.	σA,B = 2R + |φ|
-/+	IV.	σA,B = 4R - |φ|

Délka strany

Určením délky strany rozumíme výpočet vzdálenosti mezi dvěma body o známých souřadnicích (y; x).

Výpočet provádíme v pravoúhlém trojúhelníku pomocí Pythagorovy věty. S_A,B = √(Δy_A,B² + Δy_A,B²).

Délka strany s výpočetními vztahy

Další méně používaný způsob výpočtu lze provést pomocí známého směrníku: S_A,B = Δy_A,B / sin σ_A,B nebo S_A,B = Δx_A,B / cos σ_A,B. Někdy může nastat případ, že se tyto dva výsledky budou mírně lišit, v tomto případě se za správnou hodnotu považuje ta, která byla vypočtena z většího souřadnicového rozdílu.

Rajón

Výpočtem rajónu označujeme úlohu, ve které určujeme souřadnice nového bodu K, který je koncovým bodem strany dané souřadnicemi počátečního bodu, směrníkem a délkou této strany. Rajón je hojně využíván při složitějších výpočtech např. polygonových pořadů nebo protínání vpřed.

Výpočet se známým směrníkem

Výpočet rajónu ze směrníku a délky s výpočetními vztahy

Výpočet rajónu je vlastně opakem k výpočtu směrníku. Známe souřadnice bodu P z něj směrník na určovaný bod K neboli σ_P,K a délku strany na bod K neboli S_P,K. Takže z následujícího vztahu můžeme vypočítat souřadnicové rozdíly: Δy_P,K = S_P,K × sin σ_P,K a také Δx_P,K = S_P,K × cos σ_P,K. Připočteme-li souřadnicové rozdíly k souřadnicím počátečního bodu P, získáme souřadnice nově určovaného bodu K.

Výpočet potřebného směrníku

V praxi však většinou směrník na zjišťovaný bod není znám. A proto jeho velikost musíme zjistit výpočty a měřením v terénu.

Pro zjištění směrníku potřebujeme minimálně 2 body o známých souřadnicích, viz obrázek. Bod P se nazývá stanovisko a bod Q je orientace. Nejprve tedy vypočteme směrník σ_P,Q a poté k němu připočteme úhel ω, čímž získáme potřebný směrník σ_P,K. Úhel ω obvykle musíme změřit v terénu pomocí teodolitu nebo totální stanice. Potom už opakujeme stejný postup výpočtu jako v prvním případě tzn. dosazení do rajónových rovnic.

Rajónové rovnice: y_K = y_P + S_P,K × sin σ_P,K a také x_K = x_P + S_P,K × cos σ_P,K

Výpočet rajónu a potřebného směrníku s výpočetními vztahy