Otevřít hlavní menu

StudiumEditovat

Metody řešení úlohEditovat

Teorie číselEditovat

Volitelná Davydov, ZnámEditovat

210

Nájdite celé čísla x, pre ktoré je x² + 5x - 12 násobkom 6.

Řešení

Řešíme rovnici x² + 5x - 12 = 6y, kde x a y jsou celá čísla. Jedno z řešení je x0 = 0, y0 = -2. Na základě tohoto řešení určíme zbylá řešení (x, y) podle vzorce (x0 + km, y0 + 2amx0 + akm² + bm) pro libovolné m. V naší úloze jsou tedy řešení tvaru x = 6m, y = 6m² + 5m - 2.


Volitelné HermanEditovat

1.13. i

Pro libovolné   nalezněte největší společné dělitele čísel  :

Řešení

Použíjeme euklidův algoritmus:

 

 

Největší společná dělitel čísel   je  .


2.8. i

Nalezněte všechna dvojciferná čísla, která se rovnají součtu číslice na místě desítek a druhé mocniny číslice na místě jednotek.

Řešení

Sestavíme rovnici:

10A + B = A + B2

9A = B(B - 1)

Z této rovnice vyplívá, že 9|B(B-1). Protože B nabývá hodnot 0 až 9, zjistíme, že vyhovující B jsou 0, 1 a 9. Tato čísla dosadíme zpět do původní rovnice.

Pro B = 0 a B = 1 získáváme A = 0, pro B = 9 získáváme jediné řešení úlohy a to číslo 89.


Přidělené BrožuraEditovat

11

x(x + y) + z(x − y) = 6,

y(y + z) + x(y − z) = −2,

z(z + x) + y(z − x) = 3.

Řešení

Z první a třetí rovnice získáme po úpravě rovnice

y(x - z) + x(x + z) = 6

-y(x - z) + z(x + z) = 3

Pokud rovnice sečteme a vytkneme x + z, získáme rovnici (x + z)² = 9. Z čehož plyne x + z = ±3.

Z první a druhé rovnice získáme po úpravě rovnice

z(y - x) + y(y + x) = -2

-z(y - x) + x(y + x) = 6

Pokud rovnice sečteme a vytkneme y + x, získáme rovnici (y + x)² = 4. Z čehož plyne y + x = ±2.

Z druhé a třetí rovnice získáme po úpravě rovnice

y(y + z) + x(y - z) = -2

z(y + z) - x(y - z) = 3

Pokud rovnice sečteme a vytkneme y + z, získáme rovnici (y + z)² = 1. Z čehož plyne y + z = ±1.

Řešíme tedy osm soustav tří rovnic pro tři neznámé. Získáme tak osm řešení:

  1. +++: x = 2, y = 0, z = 1
  2. -++: x = -1, y = 3, z = -2
  3. +-+: x = 0, y = -2, z = 3
  4. ++-: x = 3, y = -1, z = 0
  5. --+: x = -3, y = 1, z = 0
  6. -+-: x = 0, y = 2, z = -3
  7. +--: x = 1, y = -3, z = 2
  8. ---: x = -2, y = 0, z = -1

Zkouškou se snadno přesvědčíme, že všechna řešení vyhovují zadání původní rovnice.


45

Řešte pomocí vhodné substituce.  

Řešení

Zavedeme substituci y = x² + x a dále počítáme:

 

 

 

 

 

 

Z poslední rovnice plyne, že y = 0 a y = -5. Dosadíme zpět za y:

 

Z první rovnice plyne, že x = 0 a x = -1. Druhá rovnice nemá řešení na množině reálných čísel.


RovniceEditovat

d = 111

DerivaceEditovat

I. 4
řešení
II. 4.
řešení

BrožuraEditovat

I. 2.
řešení
I. 34.
řešení
II. 2.
řešení