*#PŘESMĚRUJ [[Spojitá funkce #Polospojitost]] ▼Přesněji '''polospojitost shora''' a '''polospojitost zdola''' jsou pojmy používané v [[matematická analýza|matematické analýze]]. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než [[spojitost]], nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Zhruba řečeno reálná [[funkce (matematika)|funkce]] ''f'' je '''shora polospojitá''' v bodě ''x'', pokud pro body ''y'' blízké bodu ''x'' není ''f(y)'' o moc větší než ''f(x)''. Funkce ''f'' je '''zdola polospojitá''', když v předchozím místo ''větší'' řekneme ''menší''.
== Přesná definice ==
[[Soubor:Upper_semi.png|náhled|vpravo|Shora polospojitá funkce.]]
=== Polospojitost shora ===
* Funkce ''f'' z [[topologický prostor|topologického prostoru]] ''X'' do [[Reálné číslo|reálných čísel]] je '''shora polospojitá v bodě ''x'' ''' z ''X'', pokud pro každé ''ε>0'' existuje [[okolí (matematika)|okolí]] ''U'' bodu ''x'', že <math>f(y)<f(x)+\varepsilon</math> kdykoliv <math>y \in U</math>.
:Ekvivalentně můžeme říci, že ''f'' je shora polospojitá v ''x'', pokud <math>\limsup_{y \to x} f(y) \leq f(x)</math>.
* Funkce ''f'' je '''shora polospojitá v ''X'' ''', jestliže je shora polospojitá v každém bodě prostoru ''X''. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru <math>\{x \in X: f(x)<a\}</math> (kde ''a'' je nějaké reálné číslo) [[otevřená množina|otevřené]].
=== Polospojitost zdola ===
[[Soubor:Lower_semi.png|náhled|vpravo|Zdola polospojitá funkce.]]
* Funkce ''f'' z [[topologický prostor|topologického prostoru]] ''X'' do reálných čísel je '''zdola polospojitá v bodě ''x'' ''' z ''X'', pokud pro každé ''ε>0'' existuje [[okolí (matematika)|okolí]] ''U'' bodu ''x'', že <math>f(y)>f(x)-\varepsilon</math> kdykoliv <math>y \in U</math>.
:Ekvivalentně můžeme říci, že ''f'' je zdola polospojitá v ''x'', pokud <math>\liminf_{y \to x} f(y) \geq f(x)</math>.
* Funkce ''f'' je '''zdola polospojitá v ''X'' ''', jestliže je zdola polospojitá v každém bodě prostoru ''X''. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru <math>\{x \in X: f(x)>a\}</math> (kde ''a'' je nějaké reálné číslo) [[otevřená množina|otevřené]].
== Vlastnosti ==
* <math>\limsup_{y \to x} f(y) \leq f(x) \leq \liminf_{y \to x} f(y)</math> ukazuje, že pokud je ''f'' v ''x'' polospojitá shora i zdola, je již v ''x'' [[spojitost|spojitá]] a (samozřejmě) i obráceně.
* Funkce ''f'', která je shora polospojitá na [[kompaktní množina|kompaktním prostoru]] ''X'', je již nutně shora [[omezená funkce|omezená]] na ''X'' a na ''X'' má [[maximum]]. Analogicky, zdola polospojitá funkce na [[kompaktní množina|kompaktu]] je [[omezená funkce|zdola omezená]] a má [[minimum]].
* součet
* Protože <math>\{\sup_{f\in \mathcal{F}}f>a\}=\bigcup_{f\in \mathcal{F}}\{f>a\}</math>, je [[supremum]] libovolného systému zdola polospojitých funkcí <math>\mathcal{F}</math> opět zdola polospojité. Totéž platí, zaměníme-li slůvko ''zdola'' za ''shora'' a ''supremum'' za ''[[infimum]]''.
* Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad <math>\mathcal{F}=\{\arctan(n\cdot):n \in \mathbb{N}\}</math>.
== Mnemotechnika ==
Je zajímavé, že naprosté většině lidí činí problémy zapamatovat si, která polospojitost je která.
== Příklady ==
* [[Charakteristická funkce]] [[otevřená množina|otevřené množiny]] je zdola polospojitá.
* [[Charakteristická funkce]] [[uzavřená množina|uzavřené množiny]] je shora polospojitá.
* [[Norma (matematika)|Norma]] na [[Banachův prostor|Banachově prostoru]] ''X'' je [[slabá topologie|slabě]] polospojitá zdola (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru ''(X,w)''). Je-li [[Dimenze vektorového prostoru|dimenze]] ''X'' nekonečná, norma nemůže být slabě polospojitá shora, tedy ani slabě spojitá.
== Související články ==
== Externí odkazy ==
* {{Commonscat}}
{{Autoritní data}}
[[Kategorie:Matematická analýza]]
| 