|
[[Soubor:Cartesian Product qtl1.svg|thumb|Ilustrace kartézského součinu <math>A \times B</math> množin <math>A=\{x,y,z\}</math> a <math>B=\{1,2,3\}</math>]]
V [[Matematikamatematika|matematice]] je '''kartézský součin''' (někdy též '''direktní součin''') [[množinové operace|množinová operace]], přičemž kartézským součinem dvou [[Množina|množin]] <math> X \,\! </math> a <math> Y \,\! </math> je množina, označená <math> X \times Y \,\! </math>, která obsahuje všechny [[Uspořádanáuspořádaná dvojice|uspořádané dvojice]], ve kterých je první položka prvkem množiny <math> X \,\! </math> a druhá položka je prvkem množiny <math> Y \,\! </math>. Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.
*Například Kartézskýmkartézským součinem osmiprvkové množiny ''A'' = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou ''B'' = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32-prvková32prvková množina ''A'' × ''B'' = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }. ▼
Kartézský součin je pojmenován po francouzském matematikovi [[René Descartes|René Descartovi]], z jehož formulaci [[analytická geometrie|analytické geometrie]] je tento koncept odvozen.
== Formální definice ==
:<math> X \times Y = \{ (x,y) : x \isin X \and y \isin Y \} \,\! </math>
*Například Kartézskýmkartézským součinem množiny všech [[ Reálnéreálné číslo|reálných čísel]] <math> \mathbb{R} \,\! </math> se sebou samou vznikne [[rovina ]] <math> \mathbb{R} \times \mathbb{R} \,\! </math>, což je možno psát jako <math> \mathbb{R}^2 \,\! </math> ( ''„Kartézská„kartézská mocnina“ ''). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí <math> (x,y) : x,y \isin \mathbb{R} \,\! </math> , viz [[ Kartézskákartézská soustava souřadnic|kartézský souřadnicový systém]]. ▼Příklad:
▲* Kartézským součinem osmiprvkové množiny ''A'' = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou ''B'' = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32-prvková množina ''A'' × ''B'' = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }.
▲* Kartézským součinem množiny všech [[Reálné číslo|reálných čísel]] <math> \mathbb{R} \,\! </math> se sebou samou vznikne rovina <math> \mathbb{R} \times \mathbb{R} \,\! </math>, což je možno psát jako <math> \mathbb{R}^2 \,\! </math> (''„Kartézská mocnina“''). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí <math> (x,y) : x,y \isin \mathbb{R} \,\! </math> , viz [[Kartézská soustava souřadnic|kartézský souřadnicový systém]].
Definici kartézského součinu dvou množin je možno rozšířit na kartézský součin libovolného počtu množin, jehož výsledkem je množina [[n-tice|n-tic]], takto:
: <math> X_1 \times X_2 \times \ldots \times X_n = \{ (x_1,x_2,\ldots,x_n) : x_i \isin X_i , 1 \leq i \leq n \} \,\! </math>
Příkladem takového součinu je trojrozměrný [[Euklidovskýeuklidovský prostor]] <math> \mathbb{R}^3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \,\! </math> .
== Vlastnosti ==
Kartézský součin není [[Komutativitakomutativita|komutativní]] ani [[Asociativitaasociativita|asociativní]] operace a nemá [[neutrální prvek]].
Kartézský součin [[Konečná množina|konečných množin]] má [[mohutnost]] rovnou součinu mohutností jednotlivých množin.<br />
Obecně má kartézský součin [[mohutnost]] rovnou [[kardinální součin|kardinálnímu součinu]] mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina [[Nekonečná množina|nekonečná]], je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin. ▼
▲Kartézský součin [[Konečná množina|konečných množin]] má [[mohutnost]] rovnou součinu mohutností jednotlivých množin. Obecně má kartézský součin [[mohutnost]] rovnou [[kardinální součin|kardinálnímu součinu]] mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina [[ Nekonečnánekonečná množina|nekonečná]], je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin.
Je-li kartézským součinem [[prázdná množina]]: <math>A \times B = \emptyset \,\! </math>, pak je <math>A = \emptyset \,\!</math> nebo <math>B = \emptyset \,\!</math>.
<!-Je-li Jestližekartézským <math>Asoučinem \times[[prázdná B \neq \emptyset</math> amnožina]] (<math>A \times B = C \times D \,\!emptyset</math>), pak je <math>A = C \,\!emptyset</math> anebo <math>B = D \,\!emptyset</math>.-->
== Nekonečný součin ==
:<math>\prod_{i \in I} X_i = \{ f : I \to \bigcup_{i \in I} X_i\ |\ (\forall i)(f(i) \in X_i)\}</math>
Zde <math> I \,\! </math> je množina indexů, <math> \{ X_i : i \isin I \} \,\! </math> je množina operandů (množin), indexovaná prvky <math> I \,\! </math>.
Kartézský součin je zde tedy definován jako množina funkcí z <math> I \,\! </math> do [[sjednocení]] všech množin, které jsou operandy. Každá z těchto funkcí je zobecněním n-tice, tzn. tvoří nekonečně-složkovou obdobu konečně-složkových n-tic. n-tici lze chápat jako speciální (konečný) případ této funkce, kde <math> (x_1, x_2, \ldots) \,\! </math> odpovídá takové funkci <math> f \,\! </math>, u které <math> f(1) = x_1, f(2) = x_2, \ldots \,\! </math>.
== Význam kartézského součinu ==
Význam kartézského součinu vyplývá především z toho, že je [[Nadmnožinanadmnožina|nadmnožinou]] pro všechny [[binární relace]] (nebo obecněji pro [[n-ární relace]]). Z tohoto pohledu jsou veškeré úvahy o vztazích mezi prvky dvou množin (nebo o vztazích mezi prvky jedné množiny) vedeny v rámci kartézského součinu, který se tak stává „rámcovou množinou“ například pro většinu [[algebra]]ických struktur. Vztahy jako [[uspořádání]] na množině <math> X \,\! </math> jsou určité podmnožiny <math> X \times X \,\! </math>, [[Operaceoperace (matematika)|operace]] na množině jsou určité podmnožiny <math> X \times X \times X \,\! </math>.
== Související články ==
|
