Metrický tenzor: Porovnání verzí

V [[matematika|matematice]] je '''metrický tenzor''' zpravidla [[tenzorové pole]] druhého řádu na [[varieta (matematika)#Hladká varieta|hladké]] [[varieta (matematika)|varietě]], které dává do souvislosti [[souřadnice]] a [[vzdálenost]]. Jinými slovy, zvolíme na [[tečný bandl|tečném bandlu]] [[varieta (matematika)#Hladká varieta|hladké variety]] [[tenzorové pole]] druhého řádu. V daném bodě [[varieta (matematika)|variety]] přiřadí toto pole dvěma [[vektor]]ům z [[tečný prostor variety|tečného prostoru]] reálné číslo.

 

Dosadíme-li dva různé vektory '''U''','''V''', realizuje tento přepis jejich [[skalární součin]]. Dosadíme-li dva stejné vektory '''V''', definujeme tímto přepisem čtverec velikosti vektoru '''V'''. Pokud pro každý vektor '''V''' a každý bod [[varieta (matematika)|variety]] je toto číslo kladné, označujeme metriku jako [[Riemannovská metrika|Riemannovskou]]. V obecném případě, kdy může čtverec velikosti vektoru vyjít záporný, označujeme metriku jako [[Pseudo-Riemannovská metrika|pseudo-Riemannovskou]]. Toto je typické např. pro [[Obecná teorie relativity|Obecnou teorii relativity]].

 

Dále využíváme [[souřadnicový zápis vektorů]]. Kvadrát [[Vzdálenost|vzdálenosti]] dvou [[bod]]ů je metrickým tenzorem <math>g_{ij}</math> dán v závislosti na [[souřadnice|souřadnicích]] v [[Diferenciál (matematika)|diferenciálním]] tvaru předpisem:

:<math>\mathrm{d}s^2 = g_{ij}\mathrm{d}x^i\mathrm{d}x^j\,</math>,

{T^{i_1\dots i_{k-1} i_{k+1} \dots i_m}}_{i_1\dots i_n i_{n+1}}.</math>

 

Metrický tenzor je [[symetrický tenzor|symetrický]], tzn.

:<math>g_{ij} = g_{ji}</math>

 

{{Portály|Matematika}}

[[Kategorie:Riemannova geometrie]]