Axiom výběru: Porovnání verzí

Odebráno 300 bajtů ,  před 15 lety
úvodní odstavec bez nadpisu, (de)wiki, encyklopedický styl, -ruční <br>
(podívejte se na)
(úvodní odstavec bez nadpisu, (de)wiki, encyklopedický styl, -ruční <br>)
'''Axiom výběru''' (ozn. '''(AC)''') je [[axiom]]em často přidávanýmpřidávaný k obvyklým axiomům [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin|Zermelo-Fraenkelovy]] [[teorie množin]] (ZF). Poprvé byljej formulovánformuloval [[Ernst Zermelo|Ernstem Zermelem]] v roce [[1904]].
==Formulace axiomu==
'''Axiom výběru''' (ozn. '''(AC)''') je [[axiom]]em často přidávaným k obvyklým axiomům [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin|Zermelo-Fraenkelovy teorie množin]] (ZF). Poprvé byl formulován [[Ernst Zermelo|Ernstem Zermelem]] v roce [[1904]].
 
==Formulace axiomu==
Tento [[axiom]] tvrdí:<br />
<blockquote>Pro každý neprázdný soubor neprázdných [[množina|množin]] existuje [[funkce]], která z každé množiny tohoto souboru vybírá právě jeden prvek, neboli:.</blockquote>
 
V matematické notaci:
<math>(\forall I\neq \emptyset) (((\forall i \in I) (A_{i} \neq \emptyset)) \implies ((\exists f) (f\ \mbox{ je funkce } \and </math> <br />
:<math>(\andforall I\;neq \varnothing) (\forall i) (i\in I \implies A_{i} \neq \varnothing) \implies (\exists f (f\ \mbox{je funkce} \ \and\ \operatorname{dom}(f)=I \; \and \; ( (\forall i) (i \in I) (\implies f(i) \in A_{i})))))</math>
 
==Motivace pro přijetí AC==
Důležitou vlastností (AC) je to, že umožňuje ke každému souboru množin získat soubor jejich prvků, z každé množiny jeden, a to bez znalosti jakéhokoli [[algoritmus|algoritmu]], kterým bychomby tento výběr prvků mohlimohl provéstbýt proveden, pouze z předpokladu neprázdnosti souboru i jednotlivých množin (tj. nekonstruktivně).<br />Na konečném souboru množin je (AC) snadno dokazatelný – i podle selského rozumu je zřejmé, že vybrat z každé hromady kamení jeden kámen není žádný problém. Problémem začíná být až nekonečný soubor množin a to především soubory „hodně nekonečné“ ([[nespočetná množina|nespočetné]], bez [[dobře uspořádaná množina|dobrého uspořádání]]).
Uvědomme si, že na konečném souboru množin je (AC) snadno dokazatelný a i zdravý selský rozum nám říká, že vybrat z každé hromady kamení jeden kámen není žádný problém. Problémem začíná být až nekonečný soubor množin a to především soubory "hodně nekonečné" ([[Nespočetná množina|nespočetné]], bez [[Dobře uspořádaná množina|dobrého uspořádání]]).
 
V některých odvětvích [[matematika|matematiky]], zejména v nekonečné [[kombinatorika|kombinatorice]], ale například i v [[matematická analýza|matematické analýze]], se (AC) ukazuje jako zcela nezbytný předpoklad pro rozvoj těchto disciplín.<br />S (AC) je ekvivalentní řada principů teorie množin, které zásadním způsobem „učesávají“ svět teorie množin – nejznámějšími z nich jsou [[princip maximality]] a [[princip dobrého uspořádání]]. Přijetím axiomu výběru se tedy svět teorie množin stává (z pohledu jeho příznivců) přehlednějším, ale ne zas tolik, aby přestal být zajímavým.
S (AC) je ekvivalentní řada principů teorie množin, které zásadním způsobem "učesávají" svět teorie množin - neznámějšími z nich jsou [[Princip maximality]] a [[Princip dobrého uspořádání]]. Přijetím axiomu výběru se tedy svět teorie množin stává (z pohledu jeho příznivců) přehlednějším, ale ne zas tolik, aby přestal být zajímavým.
 
==Motivace pro odmítnutí AC==
Odpůrci zařazení (AC) mezi standardní axiomy teorie množin (například [[Konstruktivismuskonstruktivismus|konstruktivisté]]) poukazují na jeho odlišný charakter od ostatních podobných axiomů teorie množin, které obvykle postulují možnost vytvoření nové množiny z již existujících množin jednoduchým a přehledným způsobem (viz [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom sumy|axiom sumy]], [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny|axiom potence]], [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom dvojice|axiom dvojice]]). Na rozdíl od nich (AC) nedává žádnou představu o tom, jak výběrová funkce (viz formulace axiomu) vypadá - je tedy spíše "čistě„čistě existenční"existenční“ než-li "konstrukční"„konstrukční“.
 
Druhým argumentem je, že (AC) příliš omezuje rozmanitost objektů ve světě teorie množin - podle [[Princip dobrého uspořádání|principu dobrého uspořádání]] ekvivalentního s (AC) lze každou množinu uspořádat tak, aby byla [[Izomorfismusizomorfismus|izomorfní]] s některým [[Ordinálníordinální číslo|ordinálním číslem]] - říkámto tvrzení tak vlastně "veříká, světěže teorie množin nežijínepopisuje obludyžádné objekty, které by senešlo nedaly zkrotit (tj. [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádat]]).<br />
 
Dalo by se říci, že svět ZF s (AC) stojí někde na půli cesty mezi rozmanitým, ale hůře popsatelným a použitelným světem ZF bez (AC), a mezi příliš omezeným a zjednodušeným, ale zato dokonale přehledným světem ZF s [[Axiom konstruovatelnosti|axiomem konstruovatelnosti]].
 
Dalo by se říci, že svět ZF s (AC) stojí někde na půli cesty mezi rozmanitým, ale hůře popsatelným a použitelným světem ZF bez (AC), a mezi příliš omezeným a zjednodušeným, ale zato dokonale přehledným světem ZF s [[Axiomaxiom konstruovatelnosti|axiomem konstruovatelnosti]].
 
==Nezávislost AC na axiomech ZF==
(AC) je [[bezespornost|bezesporný]] neboli [[konzistentnost|konzistentní]] s ostatními [[axiom]]y Zermelo-Fraenkelovy [[teorie množin]] (je takzvaně relativně bezesporný s ZF). Platí totiž v jednom [[model (logika)|modelu]] [[teorie množin]], a to v univerzu [[Konstruovatelnákonstruovatelná množina|univerzu konstruovatelných množin]], což dokázal v roce [[1940]] [[Kurt Gödel]]. V tomto [[model]]umodelu platí dokonce [[axiom silného výběru]] a dále například [[zobecněná hypotéza kontinua]].
Také negace (AC) je relativně bezesporná s ZF, a tedy (AC) je [[Nezávislost (matematika)|nezávislý]] na axiomech [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin|ZF]]. Přidáním negace (AC) k ZF však dostaneme teorii již s dosti podivnými vlastnostmi (lze v ní například bezesporně předpokládat neplatnost klasické [[Heineho věta|Heineho věty]]).
 
Také negace (AC) je relativně bezesporná s ZF, a tedy (AC) je [[Nezávislostnezávislost (matematikalogika)|nezávislý]] na axiomech [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin|ZF]]. Přidáním negace (AC) k ZF však dostanemevzniká již teorii již s dosti podivnými vlastnostmi (lze v ní například bezesporně předpokládat neplatnost klasické [[Heineho věta|Heineho věty]]).
== Podívejte se také na ==
{{Portál matematika}}
*[[Zermelo-Fraenkelova teorie množin]]
*[[Hypotéza kontinua]]
*[[Axiom silného výběru]]
*[[Konstruovatelná množina]]
 
[[Kategorie:Teorie množin]]