Axiomatická teorie množin: Porovnání verzí

Aplikace [[Gödelovy věty o neúplnosti|Gödelových vět o neúplnosti]] na axiomatickou teorii množin přináší vhledy na podstatu a filosofii matematiky, neboť z ní vyplývá, že sebelepší axiomatika teorie množin bude vždy obsahovat nerozhodnutelná tvrzenátvrzení (množinu všech matematických pravd nelze popsat žádnou soustavou axiomů) a že pokud teorie, kterou chceme používat k popisu všech matematických pravd, je bezesporná, nelze tuto bezespornost dokázat.{{Chybí zdroj}}

Jelikož cílem ZF je popsat jedinou soustavou axiomů celou matematiku, není možné postupovat tak, že zavedemzavedeme pojem např. "přirozené číslo" a vložíme axiomy o tom, jaké vlastnosti přirozená čísla mají. V takovém případě bychom museli rozšířit množinu axiomů pokaždé, když je v matematice objeven další důležitý pojem ([[reálné číslo]], [[funkcionál]], [[Teorie kategorií|kategorie]]...)

Bezespornost ZFC je možno snadno dokázat v nějaké silnější teorii (např. [[Kelleyova-Morseova teorie množin|Kelleyova-Morseova teorie]] s axiómem výběru), ovšem to nemá žádnou váhu pro ověření, že je skutečně bezesporná. Kdybychom si byli jisti bezesporností KM+AC, nemuseli bychom ověřovat bezespornost ZFC, která z ní plyne. A pokud si nejsme jisti ani bezesporností KM+AC, tím méně můžeme spoléhat, že každé tvrzení v ní dokazatelné je pravdivé (což je podstatně silnější tvrzení: například PA s přidaným axiomem "PA je sporná" je bezespornou teoriííteorií).

Nerozhodnutelná tvrzení v teorii množin mají nejen akademický význam, ale týkají se i "praktičtějších" oblastí matematiky, jako je [[Matematická analýza]] (příkladem je [[Hypotéza kontinua]]). Bez axiomu výběru je nerozhodnutelná i řada zcela fundamentální faktů pro práci v matematice, například zda je každá funkce [[Lebesgueův integrál|LebesgueovksyLebesgueovsky integrovatelná]] a zda je [[Kartézskýkartézský součin]] neprázdných množin vždy neprázdný.

Opravdovým zakladatelem teorie množin je Georg Cantor, který zavedl pojmy jako [[potenční množina]], [[ordinál]] či [[kardinál]]. Též dokázal existenci [[nespočetná množina|nespočetných množin]]. K&nbsp;tomu použil zcela nový důkazní prostředek, dnes nazývaný [[Cantorova diagonální metoda]]. Později dokázal takzvanou [[Cantorova věta|Cantorovu větu]] tvrdící, že ke každé množině existuji množina o&nbsp;větší [[mohutnost]]i - její potenční množina. Používal tuto definici množiny: ''„Množinou A&nbsp;rozumíme souhrn určitých a rozlišitelných objektů x existujících v&nbsp;naší mysli. Těmto objektům říkáme prvky množiny A.“''<ref>[ftp://math.feld.cvut.cz/pub/velebil/yd01mlo/handout01.pdf Jiří Velebil, Naivní teorie množin, 27. února 2008: 15/16]</ref>. Tato teorie dosáhla vinikajících výsledků, avšak na přelomu devatenáctého a dvacátého století se v&nbsp;ní objevili anntinomieantinomie (takzvané paradoxy naivní teorie množin; viz níže)

Opravdovým problémem se ukázal [[Russellův paradox]], týkající se množiny, která je definována jednoduchou formulí. RuusellůvRussellův paradox se dá popsat takto: ''„Mějme množinu <math>\left \{ x|x \not x \right \}</math> všech množin, které nejsou prvky sami sebe. Je tato množina svým prvkem? Obě možné odpovědi vedou ihned ke sporu.

ExitujeExistuje několik různých systémů axiomatizace teorie množin s&nbsp;různou silou a výsledky. Zde je uvedena jen část z&nbsp;nich.

New Foundations (NF) je axiomatizace, kterou vyvinul [[Willard van Orman Quine]]. Jedná se o&nbsp;zjednodušení teorie typů z&nbsp;knihy Principia Mathematica. Na rozdíl od teorie typů nepoužívá hiearchiihierarchii typů. Axiomy NF vylučují axiom výběru<ref>[http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/nf.html#Problem New Foundations home page - Big problem]</ref>.