Teorie množin: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m typo |
Přidal sekce o naivní a axiomatické t.množin. Je takto v pořádku? |
||
Řádek 24:
* <math>a \isin b</math> — množina <math>a</math> je prvkem množiny <math>b</math>
* <math>a = b</math> — množiny <math>a</math> a <math>b</math> jsou shodné (mají stejné prvky — <math>(\forall x)(x \isin a \Leftrightarrow x \isin b)</math>)
== Naivní teorie množin ==
{{Hlavní článek|Naivní teorie množin}}
Jako '''naivní teorie množin''' je dnes označována původní [[teorie množin]] vytvořená [[Georg Cantor|Georgem Cantorem]] v druhé polovině [[19. století]]. Název ''naivní'' je používán pro zdůraznění protikladu mezi Cantorovým [[intuice|intuitivním]] pojetím pojmu [[množina]] a dnes používanými [[Axiomatická teorie množin|axiomatickými systémy teorie množin]].
Naivní teorie množin se nezabývá přesnou definicí pojmu „množina“, „uspořádaná dvojice“ apod. a pracuje s nimi způsobem, který se učí na základních a středních školách. Pouze odborníci, kteří se věnují matematice do hloubky, potřebují postavit svoje studium na pevnějším základu a proto pracují s axiomatickou teorií množin.
I přes použité slůvko ''naivní'' je Cantorova teorie naprosto dostačující jako množinový základ pro většinu ostatních matematických disciplín a bylo v ní dosaženo významných výsledků v oblasti zkoumání vlastností [[nekonečná množina|nekonečných množin]] ([[Cantorova věta]], [[kardinální aritmetika]], [[transfinitní indukce]]) – což byla ostatně hlavní Cantorova [[motivace]] pro její vytvoření.
Tato teorie však uspokojivě neřeší způsob práce s „příliš velkými“ množinami - viz například [[Russellův paradox|Russellův]] a [[Cantorův paradox]]. Na tyto rozpory nachází solidní a konzistentní odpovědi axiomatická teorie množin.
== Axiomatická teorie množin ==
{{Hlavní článek|Axiomatická teorie množin}}
'''Axiomatická teorie množin''' je označení pro teorii, která formalizuje vlastnosti množin takovým způsobem, aby bylo možné pomocí množin zkonstruovat všechny matematické objekty, takže dokazatelná tvrzení této teorie budu přesně odpovídat všem platným matematickým výsledkům ze všech oblastí matematiky ([[algebra]], [[diferenciální rovnice]], [[geometrie]], [[teorie pravděpodobnosti]] i všechny ostatní).{{Chybí zdroj}}
Hlavní význam takových teorií je v tom, že staví na velmi solidní základ pojem "dokazatelné matematické tvrzení" a tedy poskytují užitečné vodítko při ověřování, zda nějaký matematický důkaz je korektní.{{Chybí zdroj}}
Nejpoužívanější axiomatická teorie množin je jednak [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin]] (značení ZF) a dále ZF s přidaným [[Axiom výběru|axiomem výběru]] (ta se značí ZF+AC nebo ZFC). ZFC je všeobecně uznávána jako teorie, která přesně popisuje platné matematické pravdy, tj. matematická věta je pokládána za pravdivou, právě když je dokazatelná v ZFC (dokazatelnost ovšem nelze snadno ověřit, neboť v každém okamžiku existuje mnoho pravdivých hypotéz, které ještě nebyly dokázány nebo ani vysloveny).{{Chybí zdroj}}
Aplikace [[Gödelovy věty o neúplnosti|Gödelových vět o neúplnosti]] na axiomatickou teorii množin přináší vhledy na podstatu a filosofii matematiky, neboť z ní vyplývá, že sebelepší axiomatika teorie množin bude vždy obsahovat nerozhodnutelná tvrzená (množinu všech matematických pravd nelze popsat žádnou soustavou axiomů) a že pokud teorie, kterou chceme používat k popisu všech matematických pravd, je bezesporná, nelze tuto bezespornost dokázat.{{Chybí zdroj}}
=== Důvod vzniku ===
Axiomatická teorie množin vznikla vznikla v reakci na výše zmíněné rozpory v naivní teorii množin a staví dokazatelnost matematických pravd na pevný základ. Její hlavní přednosti oproti naivní teorii jsou tyto:
'''1. Neumožňuje Russelův paradox''' (a další [[paradoxy naivní teorie množin]]) tím, že velké souhrny objektů (například "souhrn všech množin") v ní nejsou pokládány za množiny, nýbrž jsou nazývány [[Třída (matematika)|vlastními třídami]] a pracuje se s nimi jinak.{{Chybí zdroj}}
'''2. Nepředpokládá nic kromě přesně vyjmenovaných axiomů''' (odtud název "axiomatická"). Ani tak samozřejmé skutečnosti, jako že existuje prázdná množina (nebo že k množinám ''a, b'' existuje i množina ''{a,b}'') není dovoleno předpokládat, dokud to není dokázáno z axiomů anebo samo není axiomem.
[[Predikátová logika]] dává návod, jak [[Prohledávání do šířky|prohledáváním nekonečného stromu]] ověřit dokazatelnost tvrzení z dané množiny axiomů.{{Chybí zdroj}} Existence soustavy axiomů, z nichž plyne každé matematické tvrzení, tedy umožňuje [[Algoritmus|algoritmicky]] rozhodnout o pravdivosti jakékoli matematické hypotézy (tento algoritmus se nezastaví, pokud je tato hypotéza nerozhodnutelná z axiómů ZFC). To je sice v praxi nepoužitelné, protože počet větví stromu je astronomicky velký, ale přesto je ZFC užitečným vodítkem při diskuzi, zda nějaký argument lze nazvat platným matematickým důkazem.
== Odkazy ==
| |||