Verze z 14. 7. 2011, 12:14 editovat Petr Karel (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé 11 538 editací drobné úpravy, značení lagrangiánu dle normy (to původní se používá pro obj. hustotu), + literatura ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 14. 7. 2011, 14:37 editovat zrušit editaci Petr Karel (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé 11 538 editací korektnější zápis, hustota lagrangiánu, příklady Přejít na další porovnání →
Řádek 3: ==Definice== Pro [[síla#Konzervativní, disipativní a gyroskopické síly\|konzervativní systém]] má lagrangián tvar :<math>L = TL(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t) =T(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t) - V(q_1,q_2,...,q_m,t)</math> kde <math>q_1,q_2,...,q_m</math> jsou [[zobecněná souřadnice\|zobecněné souřadnice]], <math>\dot{q}_i</math> jsou [[zobecněná rychlost\|zobecněné rychlosti]], <math>T</math> je celková [[kinetická energie]], <math>V</math> je [[potenciální energie]] a <math>m</math> je počet [[stupeň volnosti\|stupňů volnosti]]. Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí [[zobecněná potenciálová funkce\|zobecněné potenciálové funkce]] <math>U(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_i_1,~~q_i~~\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t)</math>, tzn. funkce, pomocí které lze [[síla#Síla v analytické mechanice\|~~zobecněnou~~zobecněné ~~sílu~~síly]] zapsat ve tvaru <math>Q_j = -\frac{\part U}{\part q_j} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\part U}{\part \dot{q}_j}</math>. Pak: :<math>L = T(q_1,q_2,....q_m,\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,t) - U(q_1,q_2,...,.q_m,~~t) - U(~~\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m~~, q_1,q_2,...,q_m~~,t)</math><ref group="pozn.">Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí ''M''. Symbol ''U'' je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy ''M'' = ''V'' + ''U''. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem ''L'' = ''T'' - ''M'' = ''T'' - (''V'' + ''U'')</ref> Řádek 13: == Vlastnosti == Z [[Hamiltonův princip\|Hamiltonova principu]] lze odvodit, že pokud je systém v časovém intervalu <math>\langle t_1,t_2\rangle</math> popsán Lagrangeovou funkcí <math>L~~(q_j,\dot{q}_j,t)~~</math> pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí :<math>\overline{L} = L~~(q_j,\dot{q}_j,t)~~ + \dot{F}(~~q_j~~q_1,q_2,....q_m,t)</math>, kde <math>F</math> je libovolná funkce [[poloha\|polohy]] a [[čas]]u. ==Hustota lagrangiánu== Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem :<math>L = \int \mathcal L(q_j(\mathbf{x}),\dot{q}_j(\mathbf{x}),t) \,\mathrm d^3 \mathbf{x}</math> ==Jednoduché příklady== Lagrangián částice s rychlostí <math>v \,</math> v konzervativním poli s potenciální energií <math>E_\mathrm p \,</math> :<math>L = \tfrac{1}{2} m v^2 - E_\mathrm p</math> Lagrangián částice s nábojem <math>q \,</math> v elektromagnetickém poli s [[Elektrický potenciál\|elektrickým potenciálem]] <math>\varphi \,</math> a magnetickým [[Vektorový potenciál\|vektorovým potenciálem]] <math>\mathbf{A} \,</math> :<math>L = \tfrac{1}{2} m v^2 - q (\varphi - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A})</math> *Lagrangián relativistické částice (pro nenabitou částici odpadá člen s <math>q \,</math>): :<math>L = - m_0 c^2 \sqrt {1 - \frac{v^2}{c^2}} - q (\varphi - \mathbf{v} \cdot \mathbf{A})</math> == Poznámky == <references group="pozn." />

Lagrangeova funkce: Porovnání verzí