Lagrangeova funkce: Porovnání verzí

Přidáno 1 406 bajtů ,  před 8 lety
drobné úpravy, značení lagrangiánu dle normy (to původní se používá pro obj. hustotu), + literatura
m (r2.7.1) (robot přidal: de:Lagrange-Dichte)
(drobné úpravy, značení lagrangiánu dle normy (to původní se používá pro obj. hustotu), + literatura)
'''Lagrangeova funkce''' nebo také '''lagrangián/lagranžián''', popř. také '''kinetický potenciál''' [[systém]]u, je [[funkce (matematika)|funkce]], která v sobě zahrnuje popis [[dynamika|dynamiky]] systému. Tato funkce je pojmenována po [[Joseph Louis Lagrange|Lagrangeovi]], který ji zavedl v rámci své [[Lagrangeovská formulace mechaniky|formulace]] [[klasická mechanika|klasické mechaniky]].
 
==Definice==
Pro [[síla#Konzervativní, disipativní a gyroskopické síly|konzervativní systém]] má lagrangián tvar
:<math>\mathcal{L} = T(\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,q_1,q_2,....q_m,t) - V(q_1,q_2,...,q_m,t)</math>
kde <math>q_1,q_2,...,q_m</math> jsou [[zobecněná souřadnice|zobecněné souřadnice]], <math>\dot{q}_i</math> jsou [[zobecněná rychlost|zobecněné rychlosti]], <math>T</math> je celková [[kinetická energie]], <math>V</math> je [[potenciální energie]] a <math>m</math> je počet [[stupeň volnosti|stupňů volnosti]].
 
Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí [[zobecněná potenciálová funkce|zobecněné potenciálové funkce]] <math>U(\dot{q}_i,q_i,t)</math>, tzn. funkce, pomocí které lze [[síla#Síla v analytické mechanice|zobecněnou sílu]] zapsat ve tvaru <math>Q_j = -\frac{\part U}{\part q_j} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\part U}{\part \dot{q}_j}</math>. Pak:
:<math>\mathcal{L} = T(\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,q_1,q_2,...,q_m,t) - U(\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m, q_1,q_2,...,q_m,t)</math><ref group="pozn.">Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí ''M''. Symbol ''U'' je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy ''M'' = ''V'' + ''U''. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem ''L'' = ''T'' - ''M'' = ''T'' - (''V'' + ''U'')</ref>
 
Takový lagrangián umožňuje popisovat např. [[viskozní látka|viskozní látky]].
 
Takový lagrangián umožňuje popisovat např. [[viskozní látkaViskozita|viskozníviskózní]] látky nebo zahrnout působení [[Lorentzova síla|Lorentzovy síly]].
 
== Vlastnosti ==
Z [[Hamiltonův princip|Hamiltonova principu]] lze odvodit, že pokud je systém v časovém intervalu <math>\langle t_1,t_2\rangle</math> popsán Lagrangeovou funkcí <math>\mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t)</math> pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí
:<math>\overline{\mathcal{L}} = \mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t) + \dot{F}(q_j,t)</math>,
kde <math>F</math> je libovolná funkce [[poloha|polohy]] a [[čas]]u.
 
== Poznámky ==
<references group="pozn." />
 
==Literatura==
*{{Citace monografie
| příjmení = Brdička
| jméno = Miroslav
| odkaz na autora = Miroslav Brdička
| příjmení2 = Hladík
| jméno2 = Arnošt
| titul = Teoretická mechanika
| redaktoři = Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech
| vydání = 1
| vydavatel = Academia
| místo = Praha
| rok = 1987
| počet stran = 584
| kapitola = 2.4.4 Klasifikace sil, 3.8.2 Hamiltonův princip
| strany = 102, 272
| id = 21-093-87
}}
*{{Citace monografie
| příjmení = Leech
| jméno = J. W.
| titul = Klasická mechanika
| vydání = 1
| vydavatel = SNTL
| místo = Praha
| rok = 1970
| počet stran = 136
| edice = Teoretická knižnice inženýra
| kapitola = III. Lagrangeovy rovnice
| strany = 24-26
| id = 04-012-70
}}
 
== Související články ==