Lagrangeova funkce: Porovnání verzí

'''Lagrangeova funkce''' nebo také '''lagrangián/lagranžián''', popř. také '''kinetický potenciál''' [[systém]]u, je [[funkce (matematika)|funkce]], která v sobě zahrnuje popis [[dynamika|dynamiky]] systému. Tato funkce je pojmenována po [[Joseph Louis Lagrange|Lagrangeovi]], který ji zavedl v rámci své [[Lagrangeovská formulace mechaniky|formulace]] [[klasická mechanika|klasické mechaniky]].

Pro [[síla#Konzervativní, disipativní a gyroskopické síly|konzervativní systém]] má lagrangián tvar

:<math>\mathcal{L} = T(\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,q_1,q_2,....q_m,t) - V(q_1,q_2,...,q_m,t)</math>

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí [[zobecněná potenciálová funkce|zobecněné potenciálové funkce]] <math>U(\dot{q}_i,q_i,t)</math>, tzn. funkce, pomocí které lze [[síla#Síla v analytické mechanice|zobecněnou sílu]] zapsat ve tvaru <math>Q_j = -\frac{\part U}{\part q_j} + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\part U}{\part \dot{q}_j}</math>. Pak:

:<math>\mathcal{L} = T(\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m,q_1,q_2,...,q_m,t) - U(\dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_m, q_1,q_2,...,q_m,t)</math><ref group="pozn.">Zobecněná potenciálová funkce se někdy značí ''M''. Symbol ''U'' je vyhrazen jen pro část, která neodpovídá konzervativním silám, tedy ''M'' = ''V'' + ''U''. Lagrangeova funkce je pak zavedena vztahem ''L'' = ''T'' - ''M'' = ''T'' - (''V'' + ''U'')</ref>

Z [[Hamiltonův princip|Hamiltonova principu]] lze odvodit, že pokud je systém v časovém intervalu <math>\langle t_1,t_2\rangle</math> popsán Lagrangeovou funkcí <math>\mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t)</math> pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí

:<math>\overline{\mathcal{L}} = \mathcal{L}(q_j,\dot{q}_j,t) + \dot{F}(q_j,t)</math>,