Diferenciální rovnice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m r2.7.1) (robot přidal: si:අවකල සමීකරණය |
Vylepšil příklad |
||
Řádek 20:
Diferenciální rovnice, v nichž se hledaná funkce vyskytuje pouze [[lineární funkce|lineárně]], přičemž se nikde nevyskytují ani [[součin]]y hledané funkce s jejími derivacemi, ani součiny derivací této funkce, označujeme jako [[lineární diferenciální rovnice]]. Pokud jedna z uvedených podmínek není splněna, hovoříme o [[nelineární diferenciální rovnice|nelineárních diferenciálních rovnicích]].
== Příklad ==▼
Stojí-li v místnosti sklenice s horkým čajem, ubývá z ní teplo rychlostí, která je [[Přímá úměrnost|přímo úměrná]] rozdílu mezi teplotou čaje <math>T</math> a teplotou v místnosti <math>T_0</math> (kterou pro jednoduchost pokládejme za konstantní). Koeficient této úměrnosti značme <math>k</math>. Máme tedy diferenciální rovnici
a chceme najít všechny funkce <math>T(t)</math> (závislost teploty na čase), které ji splňují.
Tato rovnice je tedy podle výše uvedené klasifikace ''obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu''▼
=== Řešení příkladu ===
<math>dT</math> lze chápat jako [[Diferenciál (matematika)|diferenciál]], tedy funkci dvou proměnných <math>dT(t,dt) = dt.T'(t)</math>. Zlomek <math>\frac{dT}{dt}\,\!</math> v tomto významu se rovná derivaci <math>T</math> podle <math>t</math> (proto se derivace takto značí). Díky tomu lze uvedenou rovnici upravit:
::: <math>dT = -k.(T-T_0).dt \,\!</math>
::: <math>\frac{dT}{T-T_0} = -k.dt \,\!</math>
Strany rovnice se rovnají, právě když se rovnají jejich [[Neurčitý integrál|neurčité integráy]] (rozdíl obou [[Integrační konstanta|integračních konstant]] označme <math>c\,\!</math>
:::<math>\int\frac{1}{T-T_0}dt = c \,-\,\int k.dt \,\!</math>
Vypočtením těchto integrálů obdržíme
::: <math>\ln |T-T_0| = c - k.t \,\!</math>
Strany se rovnají, právě když se rovnají jejich exponenciely. Pro názornost předpokládejme <math>T>T_0</math>:
::: <math>e^{\ln(T-T_0)} = e^{c - k.t} \,\!</math>
To lze upravit na
::: <math> T = T_0 \,+\, e^c \,.\, e^{- k.t} \,\!</math>
Tato diferenciální rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení, přičemž různé hodnoty ''c'' odpovídají různým funkcím ''T(t)'', které popisují chladnutí čaje s různou počáteční teplotou.
== Řešení rovnice ==
Řádek 33 ⟶ 67:
Partikulární rešení můžeme v případě jednoduchých diferenciálních rovnic vypočítat analyticky. Nicméně ve velkém množství případů je analytické řešení příliš obtížné a diferenciální rovnice se řeší [[Numerická matematika|numericky]].
▲== Příklad ==
▲:<math>\frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t} = u(t) </math>
▲Tato rovnice je tedy podle výše uvedené klasifikace ''obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu''
== Související články ==
| |||