Otevřená množina: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Definice na reálných číslech |
Upravil odstavec o topol. definici |
||
Řádek 8:
<math>\epsilon \,\! </math> - jinými slovy:
: pro každé <math> y\in \R \,\! </math>
Příklad 1: Interval <math> ( 10,20) \,\! </math> je otevřená množina. Pro číslo 10,01 si můžeme za <math>\epsilon \,\! </math> zvolit <math>\frac{1}{100} \,\! </math>. (Proto se takovému intervalu říká "otevřený interval").
Příklad 2: Polouzavřený interval <math> \langle 10,20) \,\! </math> není otevřená množina, protože pro x = 10 neexistuje žádné vhodné <math>\epsilon \,\! </math>.
=== V metrických prostorech ===
Pojem "otevřená množina" lze zobecnit na libovolný [[metrický prostor]], například na trojrozměrný [[Euklidovský prostor]]. Definice pro metrické prostory zní takto:
Podmnožina <math>A</math> [[Metrický prostor|metrického prostoru]] <math>X</math> je otevřená, pokud pro každý její bod <math>x</math> existuje [[Koule (topologie)|koule]] se středem v <math>x</math>, která celá leží v <math>A</math>. Tedy pro každý bod <math>x \in A</math> existuje <math>\epsilon > 0</math> takové, že každé <math>y \in X \quad d(x, y) < \epsilon</math> leží v <math>A</math>.▼
▲Podmnožina <math>A</math>
Reálná čísla jsou metrickým prostorem a obě výše uvedené definice na nich splývají (jsou ekvivalentní).
=== V topologii ===
Pojem '''[[topologický prostor]]''' vznikl proto, aby mnoho pojmů z reálných čísel a z metrických prostorů (například [[konvergentní posloupnost]] nebo [[spojité zobrazení]]) bylo možno zobecnit na ještě širší třídu množinu, na kterých nemá smysl definovat metriku. Každý metrický prostor je topologickým prostorem a množina je na něm otevřená v topologickém smyslu, právě když je otevřená v metrickém smyslu.
V topologickém prostoru je ovšem "otevřená množina" základním pojmem - topologický prostor je přímo definován souborem otevřených podmnožin . ''Topologickým prostorem'' nazýváme každou dvojici <math>(A, \tau)</math>, kde <math>\tau</math> je systém podmnožin <math>A</math> a splňuje jisté axiomy ([[sjednocení]] libovolného počtu a [[průnik]] konečného počtu množin z <math>\tau</math> leží v <math>\tau</math>, navíc [[prázdná množina]] a X leží v <math>\tau</math>). Množiny z <math>\tau</math> pak nazýváme otevřenými množinami.
Bod X se nazývá ''vnitřním bodem'' množiny M, jestliže X∈M a existuje nějaké okolí O(X) bodu X ležící celé v množině M, tj. O(X)⊆M. Množina všech vnitřních bodů množiny M se nazývá ''vnitřek množiny'' M a označuje M<sup>o</sup>. Je-li množina M totožná se svým vnitřkem, tj. je-li každý bod množiny M vnitřní, pak je M ''množina otevřená''<ref>[http://user.mendelu.cz/marik/in-mat-web/in-mat-webse2.html Inženýrská matematika 1.2 Základní topologické pojmy]</ref>.
| |||