Axiomatická teorie množin: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m →Konstrukce objektů: další mezery |
m další nezlomitelné mezery |
||
Řádek 99:
* ZFC je bezesporná, potom nikdy nebude objeven důkaz sporu i důkaz bezespornosti.
* ZFC je sporná; pokud bude objeven důkaz její bezespornosti, Goedelova druhá věta o neúplnosti dá návod, jak zkonstruovat důkaz sporu.
== Goedelovy věty a nedokazatelná tvrzení ==
[[Gödelovy věty o neúplnosti]] říkají, že je-li nějaká [[Predikátová logika|predikátová teorie]] bezesporná, [[Rekurzivně spočetný jazyk|rekurzivně axiomatizovatelná]] a dokazuje základní [[Aritmetika|aritmetické]] pravdy, pak není [[Úplná teorie|úplná]] a neumí dokázat svoji bezespornost.
V každé teorii, kterou chceme pokládat za popis všech matematických pravda, musí být dokazatelné základní aritmetické pravdy a měl by existovat algoritmus, kterým ověříme, zda dané tvrzení je axiomem; bez takového algoritmu je teorie nepoužitelná k praktickým účelům<ref group=pozn>Gödelovy věty o neúplnosti vyžadují [[rekurzivně spočetný jazyk]], což je slabší podmínka, než [[rekurzivní jazyk]]. '''Teorie používané v praxi ovšem splňují mnohem přísnější podmínky''', než existence obecného (neomezeně složitého) algoritmu; viz například [[schéma nahrazení]] nebo [[schéma indukce]] - jsou definovány jednoduchými operacemi s řetězci. Do tohoto schématu patří každý řetězec znaků. který vznikne dosazením libovolné [[Formule (logika)|formule]] do předem daného řetězce. <br />Příkladem '''teorie, která není rekurzívně spočetná''' (tj. nesplňuje ani nejslabší z výše uvedených podmínek) je teorie v jazyce [[Peanova aritmetika|Peanovy aritmetiky]] (PA), která obsahuje jako axiomy všechny formule, které jsou pravdivé ve struktuře přirozených čísel (tato struktura je jen jeden z mnoha možných modelů PA). Je tedy [[Rozšíření predikátové teorie|rozšířením]] PA, ovšem na rozdíl od ní umí dokázat, že PA je [[Bezesporná teorie|bezesporná]]. Tato teorie by byla pro mnoho praktických účelů užitečnější, než PA, ale je v praxi nepoužitelná, neboť neexistuje způsob, jak ověřit, zda nějaké tvrzení je nebo není jejím axiomem.</ref> .
Z toho plyne, že je-li tato teorie bezesporná, pak pro ni platí obě Goedelovy věty o neúplnosti a její bezespornost není nikdy možné dokázat.<ref group=pozn>To platí proto, že teorie, jejíž bezespornost zkoumáme, je zároveň teorií, které věříme, že popisuje platné matematické pravdy. Pokud zkoumáme nějakou slabší teorii, například PA, pak na důkaz její bezespornosti sice nestačí PA, ovšem stačí na ni naše "znalost matematicky" (která je reprezentována například teorií [[ZFC]]); v té lze ukázat, že přirozená čísla tvoří model PA a z toho odvodit její bezespornost).</ref> V její bezespornost matematická komunita pevně věří, protože spor nebyl objeven přes téměř celé století, kdy je tato teorie používána. Pro ZFC, která je běžně přijímána jako popis všech matematických pravd, jsou tedy dvě možnosti:
* ZFC je bezesporná, potom nikdy nebude objeven důkaz sporu i důkaz bezespornosti.
* ZFC je sporná; pokud bude objeven důkaz její bezespornosti, Goedelova druhá věta o neúplnosti dá návod, jak zkonstruovat důkaz sporu.
=== Dopad na filosofii matematiky ===
Výše uvedené úvahy nevyužívaly specifické vlastnosti ZFC. Platí o
Z
Bezespornost ZFC je možno snadno dokázat v
Nerozhodnutelná tvrzení v
== Historie ==
[[Soubor:Diagonal argument 2.svg|thumb|Ilustrace [[Cantorova diagonální metoda|Cantorovy diagonální metody]]]]
Axiomatická teorie množin se vyvinula během dvacátého století z
=== Naivní teorie množin ===
Naivní teorie množin vznikla z
Prvním vážným pokusem o
Opravdovým zakladatelem teorie množin je Georg Cantor, který zavedl pojmy jako [[potenční množina]], [[ordinál]] či [[kardinál]]. Též dokázal existenci [[nespočetná množina|nespočetných množin]]. K
=== Paradoxy naivní teorie množin a počátky axiomatické teorie množin ===
| |||