Principia Mathematica: Porovnání verzí

Přidáno 306 bajtů ,  před 11 lety
→‎Bezespornost a úplnost: zakom. nepřesných tvrzení
(+ další část)
(→‎Bezespornost a úplnost: zakom. nepřesných tvrzení)
* zda existuje [[výrok (logika)|matematické tvrzení]], který nemůže být v systému PM dokázán ani vyvrácen (otázka [[úplnost]]i).
 
<!--
Bylo známo, že samotná [[výroková logika]] je bezesporná, ale otázka nebyla vyřešena pro axiomy teorie množin z PM. (Viz též [[Hilbertův druhý problém]].)
 
V roce 19301929 dokázala [[Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky]], že [[predikátová logika prvního řádu]] sama je úplná v mnohem slabším smyslu – tj. nějaká věta, která není dokazatelná z daného souboru axiomů, musí být nepravdivá v nějakém [[model (logika)|modelu]] těchto axiómů. Nicméně, nejde tu o silnější verzi úplnosti požadovanou pro systém PM, protože daný systém axiómů (takový jako v PM), může mít mnoho modelů, a v některých z nich bude tvrzení bude pravdivé a v jiných nepravdivé.
-----
 
Bylo známo, že samotná [[výroková logika]] je úplná a bezesporná (důkaz:)
a [[predikátová logika prvního řádu]] je úplná a bezesporná (důkaz: [[Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky]])
[http://snug.ic.cz/skripta/2_4_a_obecnacharakteristikaformalnichsystemu.html]
-->
V roce 1931 vrhly [[Gödelovy věty o neúplnosti]] na tyto dvě související otázky zásadní a nečekané světlo.