Principia Mathematica: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
rekat do Kategorie:Matematické knihy |
+ další část |
||
Řádek 6:
''Principia Mathematica'' jsou považována za jedno z nejdůležitějších děl z oboru matematické logiky a filosofie od [[Aristotelés|Aristotelova]] ''Organonu''.
== Rozsah zpracované matematiky ==
Principia obsahují [[teorie množin|teorii množin]], [[kardinální číslo|kardinální čísla]], [[ordinální číslo|ordinální čísla]] a [[reálné číslo|reálná čísla]]. Pokročilé partie [[reálná analýza|reálné analýzy]] již zpracovány nebyly. V principu bylo možné dále postupovat v odvozování matematických vět dále. Bylo to ovšem velmi zdlouhavé.
Autoři plánovali vydat ještě čtvrtý svazek o základech geometrie, ale nakonec se této myšlenky vzdali s tím, že je dosavadní práce duševně vyčerpala.
== Kritika ==
=== Axiómy ===
Jak uvádí [[Rudolf Carnap]] v článku „Die logizistische Grundlegung der Mathematik“ („Logicistické základy matematiky“, 1931), chtěl Russell vytvořit teorii, která by umožnila odvodit celou matematiku z ryze logických axiómů. Principia však vyžadují vedle základních axiomů teorie typů další tři axiomy, které nelze považovat za čistě logické: [[axiom nekonečna]], [[axiom výběru]] a [[axiom reducibility]]. Vzhledem k tomu, že první dva axiomy jsou existenční, mohl Russell formulovat matematická sdělení na nich závislá jako podmíněná tvrzení. Axiom reducibility je však nezbytný k tomu, aby mohly být formálně správně vyjádřena tvrzení z reálné analýzy, a není tedy možno přeformulovat tato tvrzení jako podmíněná. [[Frank P. Ramsey]] se snažil dokazovat, že Russellova rozvětvená teorie typů není potřebná (prostá teorie typů axiom reducibility nevyžaduje), ale jeho argumenty nebyly obecně přijaty.
=== Bezespornost a úplnost ===
Vedle otázky postavení axiómů jako logických pravd, tu zůstávají následující zásadní otázky:
* zda je možné z axiómů PM odvodit kontradikci (otázka [[bezespornost]]i),
* zda existuje [[výrok (logika)|matematické tvrzení]], který nemůže být v systému PM dokázán ani vyvrácen (otázka [[úplnost]]i).
Bylo známo, že samotná [[výroková logika]] je bezesporná, ale otázka nebyla vyřešena pro axiomy teorie množin z PM. (Viz též [[Hilbertův druhý problém]].)
V roce 1930 dokázala [[Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky]], že [[predikátová logika prvního řádu]] sama je úplná v mnohem slabším smyslu – tj. nějaká věta, která není dokazatelná z daného souboru axiomů, musí být nepravdivá v nějakém [[model (logika)|modelu]] těchto axiómů. Nicméně, nejde tu o silnější verzi úplnosti požadovanou pro systém PM, protože daný systém axiómů (takový jako v PM), může mít mnoho modelů, a v některých z nich bude tvrzení bude pravdivé a v jiných nepravdivé.
V roce 1931 vrhly [[Gödelovy věty o neúplnosti]] na tyto dvě související otázky zásadní a nečekané světlo.
Gödelův první teorém dokazuje, že Principia nemohou být současně konzistentní a úplné. Podle této věty pro každý dostatečně silný logický systém (včetně Principií), existuje tvrzení, G, která v podstatě říká: „Prohlášení G nelze dokázat.“ Pak platí: jestliže G je dokazatelné, pak je nepravdivé, a systém je tedy v rozporu, a jestliže G není dokazatelné, pak je pravdivé, a systém je proto neúplný.
Gödelův druhý teorém dokazuje, že žádný formální systém, který obsahuje základní aritmetiku, nemůže být použit k dokázání své vlastní konzistence. To znamená, že výrok „systém Principia Mathematica je bezrozporný“ nemůže být v systému Principia Mathematica dokázán – pokud ovšem není systém vnitřně sporný (v takovém případě by byl dokazatelný jak výrok, tak jeho negace).
=== Pragmatické aspekty ===
[[Ludwig Wittgenstein]] (např. ve svých přednáškách o základech matematiky na Cambridge v roce 1939) kritizoval Principia z různých pozic, například:
* Smyslem PM je položit základy pro aritmetiku. Nicméně, to, co je základní, jsou naše každodenní praktiky, jako jsou jednoduché sčítání, neboť v případě, že by se vyskytl rozpor mezi počítáním a PM, bylo by to považováno za doklad o chybě v PM (např. že PM nesprávně charakterizují číslo nebo operaci sčítání), nikoli jako důkaz o chybě v každodenním počítání.
* Výpočetní metody uvedené v PM lze prakticky použít pouze pro velmi malá čísla. Chceme-li počítat s velkými čísly (např. miliardami), rovnice by se neúnosně prodloužily a bylo by nutno použít nějaké metody pro zjednodušení výpočtu, které by se nepochybně opíraly o prakticky osvědčené početní techniky, jako je sčítání (nebo jiné nefundamentální – a tudíž zpochybnitelné – metody, jako je [[matematická indukce]]). I v tomto případě tedy PM závisí na každodenní technice, a ne naopak.
Přesto Wittgenstein připouštěl, že Principia mohou vyjasnit některé aspekty každodenní aritmetiky.
== Reference ==
| |||