Metrický prostor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m WP:WCW: opravy nadpisů, opravy odrážek, opravy odkazů, … |
|||
Řádek 8:
Pojem "metrický prostor" vznikl proto, aby se některé pojmy (definované pomocí vzdálenosti bodů na reálné ose) daly zavést pro širší skupinu matematických objektů. Příkladem takových pojmů jsou:
* [[Otevřená množina|Otevřené]] a [[Uzavřená množina|uzavřené]] množiny
* [[
* [[Cauchyovská posloupnost|Cauchyovská]] a [[Konvergentní posloupnost|konvergentní]] posloupnost
* [[Kompaktní množina]]
Řádek 18:
== Definice ==
Metrický prostor je [[Uspořádaná n-tice|dvojice]] <math>(\mathcal{M}, \rho)</math>, kde <math>\mathcal{M}</math> je libovolná neprázdná [[množina]] a <math>\rho</math> je tzv. '''metrika''', což je [[zobrazení (matematika)|zobrazení]]
: <math>\rho: \mathcal{M} \times \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}</math>,
které splňuje následující [[axiom]]y (pro libovolná <math>x, y, z \in \mathcal{M}</math>):
Řádek 31:
<math> 2\rho (x, y) = \rho(x,y)+\rho(x,y) \ge \rho (x,x)=0</math>.
Nahradíme-li trojúhelníkovou nerovnost pozměněným tvarem
: 4*. <math>\rho (x, z) \le \rho (z, y) + \rho (y, x)</math>,
pak nezápornost vyplývá přímo z axiomu 4* a dále z axiomů 2 a 4* vyplývá symetrie.
Řádek 42:
== Příklady ==
=== Metriky v R<sup>n</sup> ===
Množina [[reálné číslo|reálných čísel]] spolu s metrikou <math>\rho (x, y) = |x - y|</math> ([[absolutní hodnota]]), kde <math>x,y</math> jsou libovolné body množiny <math>\mathbb{R}</math>, tvoří [[úplný prostor|úplný]] metrický prostor.
Řádek 48:
* Na množině <math>\mathbb{R}^n</math> lze definovat tzv. '''[[Euklidovská metrika|euklidovskou metriku]]''', která vyjadřuje délku [[úsečka|úsečky]] mezi oběma body. Tento metrický prostor se nazývá [[euklidovský prostor]] [[dimenze]] <math>n</math> a označuje se <math>E_n</math>. Euklidovská metrika je definována následujícím vztahem (viz též [[Pythagorova věta]]):
*: <math>\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \sqrt{ {(x_1 - y_1)}^2 + {(x_2 - y_2)}^2 + \cdots + {(x_n - y_n)}^2 }</math>
*
*: <math>\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + \cdots + |x_n - y_n|</math>
*
*: <math>\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \max\{ |x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, \ldots, |x_n - y_n| \}</math>
=== Příklady metrik na množinách funkcí ===
* Metrickým prostorem <math>C(\langle a, b\rangle)</math> nazýváme '''prostor všech [[spojitá funkce|spojitých funkcí]] na [[interval (matematika)|intervalu]]''' <math>\langle a, b\rangle\,\!</math> s metrikou
*: <math>\rho (f,g) = \max_{a \leq x \leq b} {|g(x) - f(x)|}</math>
* Další možnou metrikou v '''prostoru spojitých funkcí na intervalu''' <math>(a, b)</math> je '''[[integrál]]ní metrika''' (pak se tento prostor nazývá [[Lp prostor|L<sub>p</sub> prostor]])
*: <math>\rho(f,g)= {\left[\int_a^b {\left|g(x)-f(x)\right|}^p \mathrm{d}x\right]}^\frac{1}{p}</math>
=== Příklady na diskrétních množinách ===
* Na libovolné neprázdné množině (ovšem většina užitečných aplikací se týká diskrétních množin) lze zavést '''diskrétní metriku''' takto:
*: <math>\rho (x,x) = 0</math> a <math>\rho (x,y) = 1</math> pro <math>x \neq y</math>
* '''[[Levenshteinova vzdálenost]]''' vyjadřuje podobnost (resp. rozdílnost) dvou [[textový řetězec|textových řetězců]], kterou vyjadřuje jako počet změn (tj. nahrazení, vložení nebo vypuštění znaku), které jsou potřeba k transformaci jednoho řetězce v druhý.
* '''Délka nejkratší cesty v [[graf (teorie grafů)|grafu]]''' je metrikou na vrcholech tohoto grafu (který musí být neorientovaný a spojitý).
| |||