Rozšířená reálná čísla: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Opravil U(x,ε) na U_ε(x) + různé |
Přidal důkaz ekvivalence dvou definice spojitosti (vysazený menším písmem, ty velké mat. symboly v tom vypadají špatně) |
||
Řádek 21:
=== Okolí vs. ε-okolí ===
Množina <math> A\subseteq \R^* \,\! </math> se nazývá okolím bodu <math> x \in \R^* \,\! </math>, pokud obsahuje ε-okolí bodu ''x'' pro nějaké ε>0. ''A'' se nazývá prstencovým okolím ''x'', pokud neobsahuje ''x'', ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu ''x''.
Tyto definice jsou ekvivalentní s [[Okolí_(matematika)#Okolí v topologických prostorech|topologickými definicemi]] pojmu okolí a ε-okolí při [[Rozšířená_reálná_čísla#Topologie|níže uvedené]] topologii.
== Topologie ==
Řádek 42 ⟶ 44:
Je-li <math> f : D_f \subseteq \R\to\R\,\! </math> [[Funkce (matematika)|funkce]], <math> y\in R^* </math> a <math> x_0\in R^* </math> takové, že <math> x_0</math> leží v [[Uzávěr množiny|uzávěru]] <math> D_f \,\! </math> ( [[definiční obor]] <math> D_f \,\! </math> sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru - viz topologie na <math> R^* </math> - může ležet i nekonečno), pak říkáme, že
pokud pro každé prstencové okolí <math>P_1</math> bodu <math>y</math> existuje prstencové okolí <math>P_2</math> bodu <math>x_0</math> takové, že [[Obraz množiny|obraz]] <math>P_2</math> leží v <math>P_1</math> (tj. <math> f[P_2] \subseteq P_1\,\! </math>). Jinými slovy, ▼
: <math> y = \lim_{x\to x_0}f(x) \iff \forall\epsilon\in\R^+\exist\delta\in\R^+:f[P_\delta(x_0)] \subseteq P_\epsilon(f(x_0)) \,\! </math>
▲
<sub>'''Důkaz ekvivalence''': Pokud je ''y'' je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby <math> U_\epsilon(x)\subseteq U_1\,\!</math>. Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci <math>\delta</math> s příslušnou vlastností; poté <math>P_2</math> zvolme jako <math>P_\delta(x)</math>. Naopak pokud ''y'' je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme <math>U_1= U_\epsilon(x)</math> a <math>\delta</math> zvolíme tak, aby <math>P_\delta(x)\subseteq P_2</math>.</sub>
[[Kategorie:Matematická analýza]]
| |||