Metrický prostor: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Hlavní pojmy a výsledky: vydělení části do [http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Tot%C3%A1ln%C4%9B_omezen%C3%BD_metrick%C3%BD_prostor&oldid=5838870 Totálně omezený metrický prostor] |
vrácení omylem smazané části |
||
Řádek 1:
'''Metrický prostor''' je [[matematická struktura]], pomocí které lze formálním způsobem definovat pojem [[vzdálenost]]i. Na metrických prostorech se poté definují další [[topologie|topologické]] vlastnosti jako např. [[otevřená množina|otevřenost]] a [[uzavřená množina|uzavřenost]] množin, jejichž zobecnění pak vede na ještě abstraktnější [[matematika|matematický]] pojem [[topologický prostor|topologického prostoru]].
== Historie ==
[[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]] zavedl pojem metrického prostoru ve své práci ''Sur quelques points du calcul fonctionnel'', Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.
== Neformální úvod ==
Pojem "metrický prostor" vznikl proto, aby se některé pojmy (definované pomocí vzdálenosti bodů na reálné ose) daly zavést pro širší skupinu matematických objektů. Příkladem takových pojmů jsou:
* [[Otevřená množina|Otevřené]] a [[Uzavřená množina|uzavřené]] množiny
* [[Spojité zobrazení|Spojité zobrazení]]
* [[Cauchyovská posloupnost|Cauchyovská]] a [[Konvergentní posloupnost|konvergentní]] posloupnost
* [[Kompaktní množina]]
Tyto pojmy mají své definice na [[Reálná osa|reálné ose]], které silně využívají pojem "vzdálenost" (tedy absolutní hodnota rozdílu dvou reálných čísel). Lze je však zobecnit na jakoukoli množinu, kde je pojem "vzdálenost" nějak definovaný, například množinu bodů v rovině a prostoru. Nebo množinu [[Spojitá funkce|spojitých funkcí]] na intervalu, kde vzdáleností je maximum jejich rozdílu. Pak se lze ptát, zda je nějaká množina funkcí uzavřená, zda posloupnost funkcí konverguje apod.
Jelikož studium těchto analogií (mezi reálnou osou a složitejšími množinami) přináší mnoho užitečných výsledků, jsou formalizovány pojmem "Metrický prostor", což je množina spolu se zobrazením, které každé dvojici bodů přiřadí tzv. '''metriku'''. Pojmy "metrika" a "vzdálenost" se při neformálním vyjadřování užívají záměnně, ale pojem "metrika" se snaží zdůraznit, že může jít o libovolné zobrazení splňující axiomy níže, nejen o vzdálenost v klasickém smyslu. Na téže množině (např. body v rovině) lze zavést [[Metrika#Příklady|několik různých metrik]].
== Definice ==
Metrický prostor je [[Uspořádaná n-tice|dvojice]] <math>(\mathcal{M}, \rho)</math>, kde <math>\mathcal{M}</math> je libovolná neprázdná [[množina]] a <math>\rho</math> je tzv. '''metrika''', což je [[zobrazení (matematika)|zobrazení]]
:<math>\rho: \mathcal{M} \times \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R}</math>,
které splňuje následující [[axiom]]y (pro libovolná <math>x, y, z \in \mathcal{M}</math>):
# Axiom nezápornosti: <math>\rho (x, y) \ge 0 </math>
# Axiom totožnosti: <math>\rho (x, y) = 0 \iff x = y </math>
# Axiom symetrie: <math>\rho (x, y) = \rho (y, x) \,\! </math>
# [[Trojúhelníková nerovnost]]: <math>\rho (x, z) \le \rho (x, y) + \rho (y, z)</math>
=== Závislosti axiomů ===
Tyto axiomy nejsou nezávislé, nezápornost totiž vyplývá z ostatních tří axiomů:
<math> 2\rho (x, y) = \rho(x,y)+\rho(x,y) \ge \rho (x,x)=0</math>.
Nahradíme-li trojúhelníkovou nerovnost pozměněným tvarem
:4*. <math>\rho (x, z) \le \rho (z, y) + \rho (y, x)</math>,
pak nezápornost vyplývá přímo z axiomu 4* a dále z axiomů 2 a 4* vyplývá symetrie.
Hodnota <math>\rho(x,y) \,\!</math> bývá nazývána [[vzdálenost|vzdáleností]] bodů <math> x,y \,\! </math> v metrice <math>\rho \,\!</math>.
Vynecháme-li v axiomu 2 implikaci zleva doprava (tj. připustíme, aby dva ''různé'' body měly nulovou vzdálenost) a ponecháme tak pouze rovnost <math>\rho (x, x) = 0</math>, nazýváme vzniklé zobrazení [[pseudometrika|pseudometrikou]].
Vynecháme-li 4. axiom, nazýváme vzniklé zobrazení [[semimetrika|semimetrikou]].
== Příklady ==
=== Metriky v R<sup>n</sup>===
Množina [[reálné číslo|reálných čísel]] spolu s metrikou <math>\rho (x, y) = |x - y|</math> ([[absolutní hodnota]]), kde <math>x,y</math> jsou libovolné body množiny <math>\mathbb{R}</math>, tvoří [[úplný prostor|úplný]] metrický prostor.
Na [[Euklidův prostor|euklidovském prostoru]] <math>\mathbb{R}^n</math> (tj. v rovině, v prostoru, případně ve vícerozměrném prostoru) lze definovat metriku mnoha způsoby, z nichž nejběžnější jsou:
* Na množině <math>\mathbb{R}^n</math> lze definovat tzv. '''[[Euklidovská metrika|euklidovskou metriku]]''', která vyjadřuje délku [[úsečka|úsečky]] mezi oběma body. Tento metrický prostor se nazývá [[euklidovský prostor]] [[dimenze]] <math>n</math> a označuje se <math>E_n</math>. Euklidovská metrika je definována následujícím vztahem (viz též [[Pythagorova věta]]):
*:<math>\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \sqrt{ {(x_1 - y_1)}^2 + {(x_2 - y_2)}^2 + \cdots + {(x_n - y_n)}^2 }</math>
* tzv. '''součtová''' či '''[[manhattanská metrika]]''' (podle vzdálenosti, kterou je třeba ujít mezi dvěma křižovatkami na [[Manhattan]]u, mezi kterými se lze pohybovat jen po na sebe kolmých ulicích ve směru obou os).
*:<math>\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2| + \cdots + |x_n - y_n|</math>
* tzv. '''maximová metrika''':
*:<math>\rho (\mathbf{x},\mathbf{y}) = \max\{ |x_1 - y_1|, |x_2 - y_2|, \ldots, |x_n - y_n| \}</math>
=== Příklady metrik na množinách funkcí ===
* Metrickým prostorem <math>C(\langle a, b\rangle)</math> nazýváme '''prostor všech [[spojitá funkce|spojitých funkcí]] na [[interval (matematika)|intervalu]]''' <math>\langle a, b\rangle\,\!</math> s metrikou
*:<math>\rho (f,g) = \max_{a \leq x \leq b} {|g(x) - f(x)|}</math>
* Další možnou metrikou v '''prostoru spojitých funkcí na intervalu''' <math>(a, b)</math> je '''[[integrál]]ní metrika''' (pak se tento prostor nazývá [[Lp prostor|L<sub>p</sub> prostor]])
*:<math>\rho(f,g)= {\left[\int_a^b {\left|g(x)-f(x)\right|}^p \mathrm{d}x\right]}^\frac{1}{p}</math>
=== Příklady na diskrétních množinách ===
*Libovolná '''neprázdná množina''' s '''[[diskrétní metrika|diskrétní metrikou]]''' definovanou:
*:<math>\rho (x,x) = 0</math> a <math>\rho (x,y) = 1</math> pro <math>x \neq y</math>
* '''[[Levenshteinova vzdálenost]]''' vyjadřuje podobnost (resp. rozdílnost) dvou [[textový řetězec|textových řetězců]], kterou vyjadřuje jako počet změn (tj. nahrazení, vložení nebo vypuštění znaku), které jsou potřeba k transformaci jednoho řetězce v druhý.
* '''Délka nejkratší cesty v [[graf (teorie grafů)|grafu]]''' je metrikou na vrcholech tohoto grafu (který musí být neorientovaný a spojitý).
=== Další příklady ===
* V každém [[Riemannův prostor|Riemannově prostoru]] je možné definovat vzdálenosti bodů.
== Porovnání metrik ==
Mějme na neprázdné [[množina|množině]] <math>\mathbf{M}</math> dvě libovolné metriky <math>\rho_1, \rho_2</math>. Následující výroky jsou ekvivalentní:
* každá množina <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> [[otevřená množina|otevřená]] v metrice <math>\rho_1</math> je otevřená také v metrice <math>\rho_2</math>
* každá množina <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> [[uzavřená množina|uzavřená]] v metrice <math>\rho_1</math> je uzavřená také v metrice <math>\rho_2</math>
* pro každé <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> platí <math>\mathrm{cl}_2 \mathbf{X} \subset \mathrm{cl}_1 \mathbf{X}</math>, kde <math>\mathrm{cl}_i \mathbf{X}</math> značí [[uzávěr množiny]] <math>\mathbf{X}</math> vzhledem k metrice <math>\rho_i</math>.
* pro každé <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> platí <math>\mathrm{int}_1 \mathbf{X} \subset \mathrm{int}_2 \mathbf{X}</math>, kde <math>\mathrm{int}_i \mathbf{X}</math> značí [[vnitřek množiny]] <math>\mathbf{X}</math> vzhledem k metrice <math>\rho_i</math>.
* každé [[okolí (matematika)|okolí]] bodu <math>x \in \mathbf{M}</math> v metrice <math>\rho_1</math> je okolím také v metrice <math>\rho_2</math>.
* [[identické zobrazení]] metrického prostoru <math>(\mathbf{M},\rho_1)</math> na <math>(\mathbf{M},\rho_2)</math> je [[spojité zobrazení|spojité]].
* každá [[posloupnost (matematika)|posloupnost]] <math>\{x_n\}</math> bodů z <math>\mathbf{M}</math>, která v metrickém prostoru <math>(\mathbf{M},\rho_2)</math> [[konvergence|konverguje]] k ''x'', konverguje ke stejné [[limita|limitě]] také v prostoru <math>(\mathbf{M},\rho_1)</math>.
Uvedená tvrzení definují vztah mezi metrikami <math>\rho_1</math> a <math>\rho_2</math>. Je-li přitom <math>\rho_1 \ne \rho_2</math>, pak o takto definovaných metrikách říkáme, že <math>\rho_2</math> je ''silnější'' než <math>\rho_1</math> (nebo <math>\rho_1</math> je ''slabší'' než <math>\rho_2</math>).
== Ekvivalence metrik ==
O metrikách <math>\rho_1, \rho_2</math> na <math>\mathbf{M}</math> řekneme, že jsou ''ekvivalentní'' tehdy, když každá množina <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> je otevřená v metrice <math>\rho_1</math> právě tehdy, když je otevřená v metrice <math>\rho_2</math>. Jsou-li metriky<math>\rho_1, \rho_2</math> ekvivalentní, pak pro každou množinu <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> platí <math>\mathrm{cl}_1 \mathbf{X} = \mathrm{cl}_2 \mathbf{X}</math>, kde <math>\mathrm{cl}_i \mathbf{X}</math> je [[uzávěr množiny]] <math>\mathbf{X}</math> v metrice <math>\rho_i</math>. Jestliže jsou metriky <math>\rho_1, \rho_2</math> ekvivalentní, pak pro každou množinu <math>\mathbf{X} \subset \mathbf{M}</math> také platí <math>\mathrm{int}_1 \mathbf{X} = \mathrm{int}_2 \mathbf{X}</math>, kde <math>\mathrm{int}_i \mathbf{X}</math> je [[vnitřek množiny]] <math>\mathbf{X}</math> v metrice <math>\rho_i</math>.
== Hlavní pojmy ==
Řádek 5 ⟶ 90:
* V každém metrickém prostoru platí, že každá konvergentní posloupnost je posloupnost.
* Prostor M je [[Totálně omezený metrický prostor|totálně omezený]], pokud pro každé kladné číslo <math>\epsilon \,\! </math> existuje konečná množina <math>S \subseteq M </math> taková, že každý prvek M je k nějakému prvku S blíže, než <math>\epsilon \,\! </math>. Množině <math>S</math> se říká <math>\epsilon</math>-síť.
== Zobecnění v topologii ==
Metrický prostor je velmi obecná struktura umožňující pracovat jednotně s mnoha různými druhy množin (množiny bodů, množiny funkcí apod.). Přesto je možno mnohé pojmy z metrických prostorů (například "uzavřená množina" nebo "spojité zobrazení") definovat ještě podstatně obecněji v pojmu [[topologický prostor]]. Každý metrický prostor je zároveň topologickým prostorem, ovšem nikoli opačně. Topogické prostory tedy umožňují studovat vlastnosti ještě širší skupiny množin, než metrické prostory. Tím se zabývá oblast matematiky zvaná [[Topologie|topologie]].
[[Kategorie:Matematická analýza]]
[[Kategorie:Topologie]]
[[ar:فضاء متري]]
[[bg:Метрично пространство]]
[[ca:Espai mètric]]
[[cy:Gofod metrig]]
[[da:Metrisk rum]]
[[de:Metrischer Raum]]
[[el:Μετρικός χώρος]]
[[en:Metric space]]
[[eo:Metrika spaco]]
[[es:Espacio métrico]]
[[et:Meetriline ruum]]
[[fa:فضای متری]]
[[fi:Metrinen avaruus]]
[[fr:Espace métrique]]
[[he:מרחב מטרי]]
[[hu:Metrikus tér]]
[[is:Firðrúm]]
[[it:Spazio metrico]]
[[ja:距離空間]]
[[ka:მეტრიკული სივრცე]]
[[ko:거리공간]]
[[lt:Metrinė erdvė]]
[[mk:Метрички простор]]
[[nl:Metrische ruimte]]
[[no:Metrisk rom]]
[[pl:Przestrzeń metryczna]]
[[pms:Spassi métrich]]
[[pt:Espaço métrico]]
[[ro:Spațiu metric]]
[[ru:Метрическое пространство]]
[[sk:Metrický priestor]]
[[sl:Metrični prostor]]
[[sr:Метрички простор]]
[[sv:Metriskt rum]]
[[uk:Метричний простір]]
[[ur:بحر فضا]]
[[vi:Không gian mêtric]]
[[zh:度量空间]]
[[zh-classical:度量空間]]
| |||