Abstraktní algebra: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
Popis co je algebraická struktura |
Struktury jako n-tice |
||
Řádek 40:
Příkladem struktur, které jsou v matematice často zkoumány, ale ''nejsou'' algebraickými strukturami, jsou [[Uspořádaná množina|uspořádané množiny]], [[Topologický prostor|topologické prostory]], [[Normovaný vektorový prostor|normované vektorový prostory]], [[Graf (teorie grafů)|grafy]] apod. [[Model (logika)|Model predikátové teorie]] je algebraickou strukturou jen tehdy, pokud tato teorie neobsahuje relační symboly.
=== Formální definice algebraických struktur ===
Intuitivně je algebraická struktura "množina vybavená operacemi". Aby bylo možné s nimi exaktně pracovat, formálně se tyto struktury definují jako uspořádané n-tice, kde ''n'' je číslo o jedna větší, než počet těchto operací.
Např. grupa je množina se třemi operacemi, které lze značit např. <math>\circ</math> , <sup>-1</sup>, ''e'' (nebudeme se teď držet jiné možné definice, která si vystačí s jednou operací). Grupou je tedy každá uspořádaná čtveřice <math>\mathbb{G}</math> = (G, <math>\circ</math> , <sup>-1</sup>, ''e'') taková, že
* <math>\circ</math> je binární operace nad G, operace <sup>-1</sup> je unární operace nad G a ''e'' je nulární operace (konstanta) nad G
* splňuje všechny vztahy v definici grupy, například <math>\forall x \in G: x^{-1}\circ x = e</math>
Grupa celých čísel je tedy uspořádaná čtveřice (Z, +, -, 0) , kde symbol + značí množinu všech uspořádaných trojic celých čísel <math>(x,y,z)</math> takových, že <math>x+y=z</math>.
=== Nosná množina ===
Množině G v právě uvedené definici se říká ''nosná množina''. Grupa <math>\mathbb{G}</math> a její nosná množina G jsou dva různé matematické objekty, ale tam, kde nehrozí nedorozumění, se označují stejným písmenem, takže je běžné psát například
:: <math>\forall x \in \mathbb{G}: x^{-1}\circ x = e</math>
== Strukturní přístup ==
| |||