Teorie kategorií: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m robot přidal: hr:Teorija kategorija |
Přesunul jsem se text z článku "Kategorie (matematika)". Časem to asi nějak uhladím a rozšířím |
||
Řádek 1:
'''Teorie kategorií''' je odvětví [[matematika|matematiky]], které zobecňuje pohled na matematické struktury a vztahy mezi nimi. [[Kategorie (matematika)|Kategorie]] lze najít v mnoha odvětvích matematiky a v některých oblastech [[teoretická informatika|teoretické informatiky]] a [[matematická fyzika|matematické fyziky]], kde jsou používány jako sjednocující pojem. Poprvé se kategorie začaly objevovat v pracech [[Samuel Eilenberg|Samuela Eilenberga]] a [[Saunders Mac Lane|Saunderse Mac Lana]] v letech [[1942]] až [[1945]] v souvislosti s [[algebraická topologie|algebraickou topologií]].
V [[matematika|matematice]] je '''kategorie''' pojem, který sjednocuje abstraktní struktury a základní operace na nich. Kategorie se objevují ve všech
odvětvích matematiky a jsou sjednodujícím prvkem, který umožňuje vidět spojitosti mezi odvětvími. Studiem kategorií jako takových se zabývá [[teorie kategorií]].
== Definice ==
'''Kategorie''' ''C'' se skládá z
* [[Třída (matematika)|třídy]] '''objektů''' ob(''C'')
* třídy [[morfismus|morfismů]] hom(''C'') . Každý morfismus ''f'' má právě jeden ''zdrojový objekt a'' a ''cílový objekt b'' kde ''a'' a ''b'' jsou z ob(''C''). Píšeme ''f'': ''a'' → ''b'' a říkáme, že „''f'' je morfismus z ''a'' do ''b''“. Pomocí hom(''a'', ''b'') (nebo hom<sub>''C''</sub>(''a'', ''b'')) označujeme třítu všech morfismů z ''a'' do ''b''
* pro každé tři objekty ''a'', ''b'' a ''c'' je definována [[operace (matematika)|operace]] hom(''a'', ''b'') × hom(''b'', ''c'') → hom(''a'', ''c'') nazývaná ''skládání morfismů''. Složení ''f'' : ''a'' → ''b'' a ''g'' : ''b'' → ''c'' se zapisuje jako ''g'' o ''f'' nebo ''gf'' (někteří autoři také píšou ''fg'' nebo ''f;g''). Pro skládání morfismů platí následující dvě vlastnosti
** ([[asociativita]]) pokud ''f'' : ''a'' → ''b'', ''g'' : ''b'' → ''c'' a ''h'' : ''c'' → ''d'', tak ''h'' o (''g'' o ''f'') = (''h'' o ''g'') o ''f'';
** ([[Identita (matematika)|identita]]) pro každý objekt ''x'' existuje morfismus 1<sub>''x''</sub> : ''x'' → ''x'' nazývaný ''identita na n'', a to takový, že pro všechny morfismy ''f'' : ''a'' → ''b'' platí 1<sub>''b''</sub> o ''f'' = ''f'' = ''f'' o 1<sub>''a''</sub>.
Z definice lze dokázat, že [[Kvantifikátor jednoznačné existence|existuje právě jedna]] identita na každém objektu.
Kategorie je '''malá kategorie''', pokud ob(''C'') a hom(''C'') jsou nejen třídy, ale dokonce [[množina|množiny]]. Kategorie, která není malá, je '''velká'''. Kategorie je
'''lokálně malá kategorie''' pokud pro všechny objekty ''a'' a ''b'' je hom(''a'', ''b'') množina.
Morfismy se někdy nazývají ''šipky''. Tento název má původ v [[komutativní diagram|komutativních diagramech]].
== Příklady ==
Při uvádění příkladu kategorií se většinou uvádí, co tvoří objekty, morfismy a jak je definováno skládání morfismů.
* Kategorie '''Set''', ve které jsou objekty množiny, morfismy jsou [[funkce (matematika)|funkce]] mezi množinami a skládání je skládání funkcí.
* Kategorie '''Ord''', ve které jsou objekty [[uspořádaná množina|uspořádané množiny]], morfismy jsou [[monotónní funkce]] a skládání je skládání funkcí.
* Každá uspořádaná množina (''P'', ≤) tvoří malou kategorii, ve které jsou objekty prvky ''P'' morfismus z ''a'' do ''b'' existuje pokud ''a''≤''b'' a skládání je dané jednoznačně, jelikož mezi ''a'' a ''b'' existuje nejvýše jeden morfismus.
* Každý [[monoid]] tvoří malou kategorii s jediným objektem ''x''. Morfismy z ''x'' do ''x'' jsou prvky monoidu, a skládání morfismů je dáno operací na monoidu.
* Kategorie '''Top''' je kategorie nazývaná kategorií [[topologický prostor|topologických prostorů]]. Objekty této kategorie jsou topologické prostory a morfizmy mezi objekty jsou [[spojité zobrazení|spojitá zobrazení]] mezi těmito objekty.
* Každý [[grupoid]] je kategorií.
{{Pahýl - matematika}}
| |||