Verze z 26. 3. 2023, 09:45 editovat David V. bot (diskuse \| příspěvky) Roboti 89 864 editací m →‎Literatura: typografie za použití AWB ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 28. 3. 2023, 12:36 editovat zrušit editaci Jirka Fiala (diskuse \| příspěvky) 1 186 editací m odsazení matematických výrazů značka: editace z Vizuálního editoru Přejít na další porovnání →
Řádek 23: == Ukázky == Matice Matice<math display="block">\begin{pmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{pmatrix}</math>má hodnost 2: první dva sloupce jsou [[Lineární závislost\|lineárně nezávislé]], takže hodnost je alespoň 2, ale protože třetí sloupec je lineární kombinací prvních dvou (první mínus druhý), všechny tři sloupce jsou lineárně závislé, takže hodnost musí být menší než 3. Matice<math display="block">\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{pmatrix}</math>má hodnost 1: obsahuje nenulové sloupce, takže hodnost je kladná, ale kterákoli dvojice sloupců je lineárně závislá. Podobně její [[Transpozice matice\|transponovaná matice]]<math display="block">\boldsymbol{A}^{\mathrm T} = \begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{pmatrix}</math>má také hodnost 1. Protože sloupcové vektory <math display="inline">\boldsymbol{A}</math> jsou řádkové vektory transponované matice <math display="inline">\boldsymbol{A}^{\mathrm T}</math> je ve skutečnosti tvrzení, že sloupcová hodnost matice se rovná její řádkové hodnosti, ekvivalentní tvrzení, že hodnost matice se nezmění při transpozici, tj. <math display="inline">\operatorname{rank} \boldsymbol{A} = \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}^{\mathrm T}) </math>. :<math>\begin{pmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{pmatrix}</math> má hodnost 2: první dva sloupce jsou [[Lineární závislost\|lineárně nezávislé]], takže hodnost je alespoň 2, ale protože třetí sloupec je lineární kombinací prvních dvou (první mínus druhý), všechny tři sloupce jsou lineárně závislé, takže hodnost musí být menší než 3. Matice :<math>\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{pmatrix}</math> má hodnost 1: obsahuje nenulové sloupce, takže hodnost je kladná, ale kterákoli dvojice sloupců je lineárně závislá. Podobně její [[Transpozice matice\|transponovaná matice]] :<math>\boldsymbol{A}^{\mathrm T} = \begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{pmatrix}</math> má také hodnost 1. Protože sloupcové vektory <math display="inline">\boldsymbol{A}</math> jsou řádkové vektory transponované matice <math display="inline">\boldsymbol{A}^{\mathrm T}</math> je ve skutečnosti tvrzení, že sloupcová hodnost matice se rovná její řádkové hodnosti, ekvivalentní tvrzení, že hodnost matice se nezmění při transpozici, tj. <math display="inline">\operatorname{rank} \boldsymbol{A} = \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}^{\mathrm T}) </math>. == Výpočet hodnosti matice == Řádek 31 ⟶ 46: Běžným přístupem k nalezení hodnosti matice je její redukce na řádkově odstupňovaný tvar, pomocí elementárních řádkových operací. Řádkové úpravy nemění řádkový prostor (proto nemění jeho dimenzi) a jsou invertibilní. Také zobrazují sloupcový prostor na izomorfní prostor (nemění proto dimenzi sloupcového prostoru). Jakmile má matice odstupňovaný tvar, je dimenze zřejmě totožná pro řádkový i sloupcový prostor. Hodnost je pak rovna počtu pivotů, resp. počtu nenulových řádků. Například matici Například matici <math display="block">\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{pmatrix}</math>lze převést do řádkově odstupňovaného tvaru pomocí následujících elementárních ekvivalentních řádkových úprav:<math display="block">\begin{align}▼ :<math>\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{pmatrix}</math> ▲~~Například matici <math display="block">\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{pmatrix}</math>~~lze převést do řádkově odstupňovaného tvaru pomocí následujících elementárních ekvivalentních řádkových úprav:~~<math display="block">\begin{align}~~ :<math>\begin{align} \begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{pmatrix} &\xrightarrow{2R_1 + R_2 \to R_2} Řádek 42 ⟶ 63: \xrightarrow{-2R_2 + R_1 \to R_1} \begin{pmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{pmatrix}~. \end{align}</math> \end{align}</math>Výsledná matice (řádkově odstupňovaném tvaru) má dva nenulové řádky, takže hodnost výsledné matice i původní matice <math display="inline">\boldsymbol{A}</math> je 2.▼ ▲~~\end{align}</math>~~Výsledná matice (řádkově odstupňovaném tvaru) má dva nenulové řádky, takže hodnost výsledné matice i původní matice <math display="inline">\boldsymbol{A}</math> je 2. === Numerické záležitosti ===

Hodnost matice: Porovnání verzí