Matematické kyvadlo: Porovnání verzí

'''Matematické kyvadlo''' je nejjednodušším [[matematika|matematickým]] modelem [[kyvadlo|kyvadla]]. Matematické kyvadlo je [[hmotný bod]] zavěšený na tenkém nepružném dokonale ohebném vlákně zanedbatelné [[hmotnost]]i, zanedbává se [[Odpor prostředí|odpor vzduchu]] při pohybu kyvadla i [[tření]] v závěsu a [[tíhové pole]] se považuje za homogenní. Pohyb se navíc děje v jedné rovině a lze jej tak popsat jednou souřadnicí, většinou úhlem výchylky z rovnovážné polohy. Matematické kyvadlo je netlumený mechanický [[oscilátor]], tedy soustava, která po dodání počáteční [[energie]] periodicky [[kmitání|kmitá]]. Je to nelineární systém, ale při malých výchylkách (±5°) je průběh tohoto kmitání přibližně harmonický, lze jej tedy vyjádřit např. pomocí funkce [[sinus]].

 

: <math> \ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \varphi = 0.</math>

 

 

: <math> \varphi(t) = \varphi_m \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t \right) </math>,

Neuvažujeme-li pouze malé výchylky kyvadla jako v předchozím případě, je mnohem náročnější pohybovou diferenciální rovnici vyřešit. K jejímu řešení je potřeba [[Transcendentní funkce|vyšší transcendentní funkce]] úplný [[eliptické integrály|eliptický integrál]] I. druhu

: <math>K(k) = \int_0^{\pi/2} {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{u}}}\,du\,</math>

:<math>T (\varphi_m) = 4\sqrt{\ell\over g}\,K\left( \sin{\varphi_m\over 2} \right).</math>

: <math>T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2\left(\frac{\varphi_m}{2}\right)+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^2\sin^4\left(\frac{\varphi_m}{2}\right) + ...\right)</math>.

Pokud uvažujeme nenulové [[tření]] při pohybu kyvadla přímo úměrné rychlosti, klesá maximální výchylka při kmitání [[Exponenciální funkce|exponenciálně]] v závislosti na čase.

 

=== Reverzní kyvadlo ===

Pokud naneseme na [[přímka|přímku]], která je [[Ortogonalita|kolmá]] k ose [[rotace|otáčení]] <math>O</math> a současně prochází [[těžiště]]m tělesa, [[#Redukovaná délka|redukovanou délku]] kyvadla, dostaneme bod <math>O^\prime</math>. Tento bod se nazývá '''střed kyvu''' a má tu vlastnost, že těleso, zavěšené na ose procházející bodem <math>O^\prime</math> má stejnou periodu, jako těleso zavěšené v bodě <math>O</math>.

 

Redukovaná délka pro osu <math>O^\prime</math> je tedy stejná jako pro původní osu <math>O</math>.

 

:<math>T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}</math>.

 

== Související články ==

* [[Torzní kyvadlo]]

 

[[Kategorie:Kyvadla]]