Diskriminant: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
značka: editace z Vizuálního editoru |
rozšíření článku značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 1:
'''Diskriminant''' je [[polynom]] s [[reálné číslo|reálnými]] nebo [[imaginární číslo|imaginárními]] koeficienty, který se používá při řešení [[polynomická rovnice|polynomických rovnic]], především [[kvadratická rovnice|kvadratických]], také při studiu vlastností
▲'''Diskriminant''' je [[polynom]] s [[reálné číslo|reálnými]] nebo [[imaginární číslo|imaginárními]] koeficienty, který se používá při řešení [[polynomická rovnice|polynomických rovnic]], především [[kvadratická rovnice|kvadratických]], také při studiu vlastností kvadratických funkcí nebo při určování tečen ke kuželosečkám.<ref>{{Citace elektronické monografie
== Diskriminant kvadratických rovnic ==
Pro [[kvadratická rovnice|kvadratickou rovnici]] <math>ax^2 + bx + c = 0</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je diskriminant <math>D = b^2 - 4ac</math>.
Znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:
* Pokud <math>D > 0</math>, pak má daná rovnice právě dva různé [[reálné číslo|reálné]] [[kořen (matematika)|kořeny]] <math>x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2a}</math>.
* Pokud <math>D = 0</math>, pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný [[reálné číslo|reálný]] [[kořen (matematika)|kořen]] <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>.
Řádek 42 ⟶ 15:
Diskriminant triviální kvadratické rovnice <math>ax^2 = 0</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je roven <math>D = 0</math>.
=== Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně ===
{{Viz též|Viètovy vzorce}}
Pro kořeny <math>x_1, x_2</math> polynomu druhého stupně platí:
Řádek 59 ⟶ 32:
* Jeden dvojnásobný reálný kořen <math>x_1 = x_2</math> pro: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2 = 0</math>
* Dva komplexně sdružené imaginární kořeny <math>x_1 = m + ni, x_2 = m - ni</math> pro: <math>D = a^2(m + ni - m + ni)^2 = -4a^2n^2 < 0.</math>
{{Viz též|Vandermondova matice}}▼
== Diskriminant kubických rovnic ==
U [[kubická rovnice|kubické rovnice]] <math>ax^3+bx^2+cx+d</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je diskriminant <math>
Lze zjednodušit na <math>D = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd</math> ([[Viètovy vzorce]]).
* Tři různé reálné kořeny <math>x_1,x_2, x_3</math> pro: <math display="inline">D > 0</math>
* Alespoň dva stejné kořeny <math>x_1 = x_2</math> ze tří reálných pro: <math display="inline">D = 0</math>
* Jeden reálný a dva imaginární, komplexně sdružené kořeny pro <math>D< 0</math>.
== Diskriminant polynomu n−tého stupně ==
Diskriminantem polynomu <math>n</math>−tého stupně s kořeny <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> rozumíme výraz <math>D_n(x_1, x_2, ..., x_n) = a^{2n - 2}_n\prod_{i<j}^n(x_i - x_j)^2.</math>
Pro účely výpočtu možno rozepsat (viz [[Vandermondova matice|Vandermondův determinant]]):
: <math>D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dotsm(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dotsm(x_3-x_4)^2\dotsm(x_{n-1}-x_n)^2</math>
== Reference ==
{{Překlad|jazyk= de |článek= Diskriminante |revize = 207256409 }}
<references />
Řádek 72 ⟶ 55:
* [[Kvadratická rovnice]]
* [[Kubická rovnice]]
== Externí odkazy ==
* {{MathWorld|id=Discriminant}}
*Řešené [https://reseneulohy.cz/1607/cardanovy-vzorce příklady]
*[http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1589-cardanovy-vzorce Kubická rovnice]
{{Portály|Matematika}}
| |||