Diskriminant: Porovnání verzí

Přidáno 273 bajtů ,  před 1 rokem
rozšíření článku
(rozšíření článku)
'''Diskriminant''' je [[polynom]] s [[reálné číslo|reálnými]] nebo [[imaginární číslo|imaginárními]] koeficienty, který se používá při řešení [[polynomická rovnice|polynomických rovnic]], především [[kvadratická rovnice|kvadratických]], také při studiu vlastností kvadratickýchpolynomických funkcí nebo při určování tečen ke kuželosečkám.<ref>{{Citace elektronické monografie
 
{{Pracuje se|2=7. 4. 2021, 16:53 (CEST)}}
 
'''Diskriminant''' je [[polynom]] s [[reálné číslo|reálnými]] nebo [[imaginární číslo|imaginárními]] koeficienty, který se používá při řešení [[polynomická rovnice|polynomických rovnic]], především [[kvadratická rovnice|kvadratických]], také při studiu vlastností kvadratických funkcí nebo při určování tečen ke kuželosečkám.<ref>{{Citace elektronické monografie
| příjmení = Švrček
| jméno = Jaroslav
| odkaz na autora = Jaroslav Švrček (matematik)
| příjmení2 = Hrubý
| jméno2 = Dag
| titul = Využití diskriminantu kvadratické rovnice
| url = http://mfi.upol.cz/files/26/2605/mfi_2605_all.pdf
| vydavatel = PF UP
| místo = Olomouc
| datum vydání = 2017
| datum přístupu = 2021-04-06
}}</ref>
 
== Diskriminant kvadratických rovnic ==
Pro [[kvadratická rovnice|kvadratickou rovnici]] <math>ax^2 + bx + c = 0</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je diskriminant <math>D = b^2 - 4ac</math>.
 
Znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:<ref>{{Citace monografie
| příjmení = Čermák
| jméno = Pavel
| titul = Odmaturuj! z matematiky
| vydání = 2
| typ vydání = opr.
| vydavatel = Didaktis
| místo = Brno
| počet stran = 208
| isbn = 80-86285-97-9
| isbn2 = 978-80-86285-97-9
| oclc = 53261459
}}</ref>
* Pokud <math>D > 0</math>, pak má daná rovnice právě dva různé [[reálné číslo|reálné]] [[kořen (matematika)|kořeny]] <math>x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2a}</math>.
* Pokud <math>D = 0</math>, pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný [[reálné číslo|reálný]] [[kořen (matematika)|kořen]] <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>.
Diskriminant triviální kvadratické rovnice <math>ax^2 = 0</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je roven <math>D = 0</math>.
 
=== Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně ===
{{Viz též|Viètovy vzorce}}
Pro kořeny <math>x_1, x_2</math> polynomu druhého stupně platí:
* Jeden dvojnásobný reálný kořen <math>x_1 = x_2</math> pro: <math display="inline">D = a^2(x_1 - x_2)^2 = 0</math>
* Dva komplexně sdružené imaginární kořeny <math>x_1 = m + ni, x_2 = m - ni</math> pro: <math>D = a^2(m + ni - m + ni)^2 = -4a^2n^2 < 0.</math>
 
== Diskriminant a Vandermondův determinant ==
{{Viz též|Vandermondova matice}}
 
== Diskriminant kubických rovnic ==
U [[kubická rovnice|kubické rovnice]] <math>ax^3+bx^2+cx+d</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je diskriminant <math>D D_3= ba^2c4(x_1-x_2)^2(x_1-4acx_3)^32(x_2-4b^3d-27a^2dx_3)^2+18abcd</math>.
 
Lze zjednodušit na <math>D = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd</math> ([[Viètovy vzorce]]).
 
* Tři různé reálné kořeny <math>x_1,x_2, x_3</math> pro: <math display="inline">D > 0</math>
 
* Alespoň dva stejné kořeny <math>x_1 = x_2</math> ze tří reálných pro: <math display="inline">D = 0</math>
* Jeden reálný a dva imaginární, komplexně sdružené kořeny pro <math>D< 0</math>.
 
== Diskriminant polynomu n−tého stupně ==
Diskriminantem polynomu <math>n</math>−tého stupně s kořeny <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> rozumíme výraz <math>D_n(x_1, x_2, ..., x_n) = a^{2n - 2}_n\prod_{i<j}^n(x_i - x_j)^2.</math>
 
Pro účely výpočtu možno rozepsat (viz [[Vandermondova matice|Vandermondův determinant]]):
: <math>D_n=a_n^{2n-2}(x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2\dotsm(x_2-x_3)^2(x_2-x_4)^2\dotsm(x_3-x_4)^2\dotsm(x_{n-1}-x_n)^2</math>
== Reference ==
{{Překlad|jazyk= de |článek= Diskriminante |revize = 207256409 }}
<references />
 
* [[Kvadratická rovnice]]
* [[Kubická rovnice]]
{{Viz též|*[[Vandermondova matice}}]]
 
== Externí odkazy ==
* {{MathWorld|id=Discriminant}}
*Řešené [https://reseneulohy.cz/1607/cardanovy-vzorce příklady]
*[http://fyzika.jreichl.com/main.article/view/1589-cardanovy-vzorce Kubická rovnice]
 
{{Portály|Matematika}}
2 100

editací