Verze z 19. 12. 2020, 18:10 editovat 46.135.70.52 (diskuse) →‎Metoda rozvoje podle řádku (sloupce) značky: editace z mobilu editace z mobilního webu ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 22. 1. 2021, 23:49 editovat zrušit editaci M97uzivatel (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé, Výjimky z blokování IP adres 76 458 editací formulace Přejít na další porovnání →
Řádek 3: '''Determinant''' je [[zobrazení (matematika)\|zobrazení]] v [[lineární algebra\|lineární algebře]], které přiřadí každé [[čtvercová matice\|čtvercové matici]] '''A''' [[skalár]] det '''A'''. Determinantem čtvercové matice řádu <math>n</math> ~~nazýváme~~se nazývá součet všech součinů <math>n</math> prvků této matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani z téhož sloupce. Každý součin přitom označíme [[Znaménko permutace\|znaménkem permutace]]. == Značení == Determinant matice <math>\mathbf{A}</math> s prvky <math>a_{ij}</math> ~~zapisujeme~~se zapisuje jako :<math>\det \mathbf{A}</math> nebo pomocí prvků jako Řádek 28: === Matice řádu 3 === Podobný geometrický význam jako pro matici řádu 2 ~~najdeme~~existuje i pro matice <math>\mathbf{B}=(b_{ij})</math> řádu 3. [[Řádkový vektor\|Řádkové vektory]] :<math>\mathbf{b}_1=(b_{11},b_{12},b_{13}), \, \mathbf{b}_2=(b_{21},b_{22},b_{23}), \,\mathbf{b}_3=(b_{31},b_{32},b_{33})</math> Řádek 77: tzn. determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků [[hlavní diagonála\|hlavní diagonály]] matice. Při úpravách matice pro výpočet determinantu ~~postupujeme~~se postupuje podle těchto pravidel: * Pokud '''B''' vznikne z '''A''' výměnou dvou řádku nebo sloupců, potom <math>\det\mathbf{B} = -\det\mathbf{A} \,</math> * Pokud '''B''' vznikne z '''A''' vynásobením řádku nebo sloupce skalárem ''c'', potom <math>\det\mathbf{B} = c\det\mathbf{A} \,</math> Řádek 84: === Metoda rozvoje podle řádku (sloupce) === Pomocí kofaktorové metody ~~můžeme~~lze rozvinout determinant podle řádku či podle sloupce, což je pro relativně malé matice celkem efektivní metoda. Tato metoda je vhodná také pro ~~tzv.~~ řídké matice (~~tj.~~tedy matice s mnoha nulovými prvky). Například podle řádku i :<math>\det\mathbf{A} = \sum_{j=1}^n\ {a}_{ij}{C}_{ij}</math> Řádek 91: == Vlastnosti == Hodnota determinantu se nezmění, ~~zaměníme-li~~při ~~řádky~~záměně řádků a ~~sloupce~~sloupců. Determinant matice <math>\mathbf{A}</math> je tedy roven determinantu [[transponovaná matice\|transponované matice]] <math>\mathbf{A}^T</math>, tzn. :<math>\det \mathbf{A} = \det \mathbf{A}^T</math>. Pokud lze prvky ''i''-tého řádku psát jako <math>c \cdot a_{ij}</math>, pak platí Řádek 107: a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}</math>, :tzn. determinant je '''homogenní''' funkcí (stupně jedna) svých řádků (i sloupců). Speciální případ předchozí vlastnosti nastane ~~tehdy,~~u ~~máme-li matici~~matice <math>\mathbf{B}</math>, jejíž prvky lze vyjádřit vynásobením prvků čtvercové matice <math>\mathbf{A}</math> řádu <math>n</math> číslem <math>c</math>, ~~tzn.~~takže <math>b_{ij} = c \cdot a_{ij}</math>. Pak platí :<math>\det \mathbf{B} = c^n \det \mathbf{A}</math> * Pro součet dvou determinantů, které se vzájemně liší v jednom řádku platí Řádek 125: \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}</math>, :~~tzn.~~takže determinant je '''aditivní''' funkcí svých řádků (i sloupců). * Spolu s výše uvedenou homogenitou to znamená, že determinant je [[Multilineární forma\|multilineární formou]] svých řádků i sloupců.

Determinant: Porovnání verzí