|
'''Peanova existenční věta''', '''Peanova věta''' nebo '''Cauchyho-Peanova věta''' je stěžejní [[matematika|matematická]] věta, která při řešení [[obyčejná diferenciální rovnice|obyčejných diferenciálních rovnic]] zaručuje [[existence|existenci]] řešení určitých [[počáteční úloha|počátečních úloh]]. Je pojmenovaná po [[Giuseppe Peano|Giuseppe Peanovi]] a [[Augustin Louis Cauchy|Augustinu Louisovi Cauchym]].
Peanova věta je výrok z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Poskytuje jednoduchý předpoklad, podle kterého má problém počáteční hodnoty (alespoň) jedno lokální řešení. Tato věta byla publikována v roce 1886 matematikem Giuseppe Peano s chybným důkazem. V roce 1890 poskytl správné důkazy.
== Historie ==
Ve srovnání s Picard-Lindelöfovou větou o existenci a jedinečnosti má věta o Peanově existenci tu výhodu, že má slabší požadavky. Místo toho nečiní žádná prohlášení ohledně jedinečnosti řešení. Jakmile máte (místní) řešení, můžete ve druhém kroku odvodit existenci nespojitého řešení. V tomto ohledu je Peanova věta prvním krokem v existenciální teorii diferenciální rovnice.
Peano publikoval tuto větu poprvé v roce 1886 s nesprávným důkazem. V roce 1890 publikoval její správný důkaz pomocí metody postupných aproximací.
== Formulace ==
== Věta ==
Nechť ''D'' je [[otevřená množina|otevřená]] podmnožina '''R''' × '''R''',
Je dána <math>F\colon G \to \R^n</math> spojitá funkce. Vaše doména definice <math>G</math> je jednou <math>[a,b] \times \overline{B}\left(y_0, R\right)</math> komplexní podskupinou <math>\mathbb{R} \times \R^n</math>. Zde označeno <math>\overline{B}\left(y_0, R\right)</math> dokončená koule kolem <math>y_0 \in \R^n</math> s poloměrem <math>R > 0</math>, diferenciální h.
: <math> f\ |y(t)-y(s)\|colon D \ leqto M|t-s|\mathbb{R}</math> ▼je spojitá funkce a
: <math>y '(x) = y_0 + f\ int_a^xFleft( sx,y( sx) \right) {\rm d}s</math> ▼je [[spojitá funkce|spojitá]] explicitní [[obyčejná diferenciální rovnice]] prvního řádu definovaná na ''D''.
Pak každá počáteční úloha
: <math>\overline{B}\left(y_0,R\right) := \{z \in \R^n \mid \|z-y_0\| \leq R\}</math>.
: <math>y '=F\left( x,y)x_0\ ,\ y(aright) = y_0</math> ▼pro všechna''f'' s <math> s(x_0, t y_0) \in [a,a+\alpha]D</math> .▼má lokální řešení
:<math>z\colon I \to \mathbb{R}</math>
kde <math>I</math> je [[okolí (matematika)|okolí]] bodu <math>x_0</math> v <math>\mathbb{R}</math>,
takové, že <math> z'(x) = f\left(x,z(x)\right) </math> pro všechna <math> x \in I </math><ref>[[#CITEREFCoddingtonLevinson1955|strana 6]]</ref>.
Všimněte si, že řešení nemusí být jednoznačné: jedna a tatáž počáteční hodnota (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) může vést k mnoha různým řešením ''z''.
Pak je tu každý problém s počáteční hodnotou <math>\ y(a)=y_0</math> Pak je tu každý problém s počáteční hodnotou <math>y'(t)=F(t,y(t))</math> alespoň lokální řešení. Přesněji to znamená, že existuje <math>\alpha>0</math> dává a nepřetržitě diferencovatelnou funkci <math>y\colon[a,a+\alpha]\to \R^n</math>, který splňuje dvě podmínky:
* Pro všechna <math>t\in[a,a+\alpha]</math> leží bod<math>(t,y(t))</math> v <math>G</math>.
* Pro všechna <math>t\in[a,a+\alpha]</math> je diferenciální rovnice <math>y'(t)=F(t,y(t))</math> splňuje.
Jedno takové <math>\alpha > 0</math> lze přesně určit: Na uzavřené a omezené množině <math>[a,b] \times \overline{B}\left(y_0,R\right)</math> má spojitou funkci <math>\|F\|</math> nastavena maximální hodnotu
: <math>M := \max\{\|F(x,y)\| \mid (x,y) \in [a,b]\times \overline{B}\left(y_0,R\right)\}</math>.
Toto číslo je vázáno na sklon možného řešení. Vyberme si hned
== <math>\alpha := \min\left\{b-a, \frac{R}{M}\right\} > 0\ .</math> ==
Pak existuje (alespoň) jedno řešení problému počáteční hodnoty
▲: <math>y'=F(x,y)\ ,\ y(a) = y_0</math>
na intervalu <math>[a,a+\alpha]</math> s hodnotami v <math>\overline{B}\left(y_0,R\right)</math>.
Poznámka: Na komplexní diferenciální rovnice lze pohlížet analogicky tak, že budeme uvažovat o skutečné a imaginární části složité složky jako o nezávislé reálné složce, diferenciální hodnoty, tím, že dělá <math>\mathbb C^n</math>, zapomenout na složité násobení <math>\R^{2n}</math> je identifikován.
== Pro skutečné Banachovy prostory ==
<math>X</math> je skutečný Banachový prostor a <math>f\colon[0,T] \times X \to X </math> stabilní a kompaktní. Při každé počáteční hodnotě <math> x_0 \in X </math> pak existuje nějaké <math> \tau > 0 </math> a nějaké řešení <math> x(\cdot) \in C^1([0,\tau],X) </math> obyčejná diferenciální rovnice
: <math> x'(\cdot)=f(\cdot,x(\cdot))</math>
s <math> x(0) = x_0 </math>.
Poznámka: V případě <math>\dim(X)<\infty</math> vyplývá z kontinuity kompaktnost<math> f </math>.
== Důkazní skica konečněrozměrného případu ==
Tato věta je prokázána ve dvou částech. Prvním krokem je použít Eulerovu polygonovou metodu pro každou z nich <math>\varepsilon>0</math> charakteristický <math>\varepsilon</math>-Přibližné řešení této diferenciální rovnice, přesněji: Jeden konstruuje po částech spojitě diferencovatelnou funkci <math>y_\varepsilon \in C([a,a+\alpha]; \overline{B}(y_0,R))</math> s <math>y_\varepsilon(a) = y_0</math>, která
: <math>\|y_\varepsilon'(x) - F(x,y_\varepsilon(x))\| \leq \varepsilon</math>
splněny v každém diferencovatelném rozlišitelném bodě i podmínka rovnosti
▲: <math>\|y(t)-y(s)\| \leq M|t-s|</math>
▲pro všechna <math>s,t \in [a,a+\alpha]</math>.
V druhém krok ukazuje pomocí věty Arzelà-Ascoliho, že existuje jednotně konvergentní subsekvence dána <math>(y_{\varepsilon_j})_{j\in\mathbb{N}}</math>. Z jejich limitní funkce <math>y</math> se pak prokázalo, že integrální rovnici
▲: <math>y(x) = y_0 + \int_a^xF(s,y(s)){\rm d}s</math>
splňuje. Ze základní věty o analýze vyplývá, že <math>y</math> je stále dost spojitě diferencovatelná a diferenciální rovnice<math>\ y'(x) = F(x,y(x))</math>.
== Příbuzné věty ==
* {{Citace monografie| příjmení = Teschl| jméno = Gerald| odkaz na autora = Gerald Teschl| titul = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| vydavatel = American Mathematical Society| místo = Providence, Rhode Island| 7 = Providence| rok = 2012| isbn = 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.v/~gerald/ftp/book-ode/}}{{Nedostupný zdroj}}
* Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S., Existence Theorems for Ordinary Differential Equations, Krieger, New York, Reprinted 1976, Původní vydání publikoval New York University Press, 1954
A překlad textu z článku https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Peano na německé Wikipedii
* Herbert Amann: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen''. 2. Auflage. Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, <nowiki>ISBN 3-11-014582-0</nowiki>.
* Gerald Teschl: (= . Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, <nowiki>ISBN 978-0-8218-8328-0</nowiki> (mat.univie.ac.at).
== Související články ==
| 