Peanova existenční věta: Porovnání verzí

Odebráno 3 450 bajtů ,  před 1 rokem
User:KacirUser:Mario7: moderní pedagogové by zasloužili vysvětlit, že Wiki nejsou nějaké Google služby pro zadávání úkolů, kde zůstávají nedodělky. Tohle je doslovný de stroják. Doufám, že budeme mít dalších 25 podobných hesel
(Dělal jsem domácí úkol do matematiky.)
značky: revertováno editace z Vizuálního editoru problematické ISBN možný spam odstraněna reference
(User:KacirUser:Mario7: moderní pedagogové by zasloužili vysvětlit, že Wiki nejsou nějaké Google služby pro zadávání úkolů, kde zůstávají nedodělky. Tohle je doslovný de stroják. Doufám, že budeme mít dalších 25 podobných hesel)
značka: ruční vrácení zpět
'''Peanova existenční věta''', '''Peanova věta''' nebo '''Cauchyho-Peanova věta''' je stěžejní [[matematika|matematická]] věta, která při řešení [[obyčejná diferenciální rovnice|obyčejných diferenciálních rovnic]] zaručuje [[existence|existenci]] řešení určitých [[počáteční úloha|počátečních úloh]]. Je pojmenovaná po [[Giuseppe Peano|Giuseppe Peanovi]] a [[Augustin Louis Cauchy|Augustinu Louisovi Cauchym]].
Peanova věta je výrok z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Poskytuje jednoduchý předpoklad, podle kterého má problém počáteční hodnoty (alespoň) jedno lokální řešení. Tato věta byla publikována v roce 1886 matematikem Giuseppe Peano s chybným důkazem. V roce 1890 poskytl správné důkazy.
 
== Historie ==
Ve srovnání s Picard-Lindelöfovou větou o existenci a jedinečnosti má věta o Peanově existenci tu výhodu, že má slabší požadavky. Místo toho nečiní žádná prohlášení ohledně jedinečnosti řešení. Jakmile máte (místní) řešení, můžete ve druhém kroku odvodit existenci nespojitého řešení. V tomto ohledu je Peanova věta prvním krokem v existenciální teorii diferenciální rovnice.
 
Peano publikoval tuto větu poprvé v roce 1886 s nesprávným důkazem. V roce 1890 publikoval její správný důkaz pomocí metody postupných aproximací.
== Formulace ==
 
== Věta ==
 
Nechť ''D'' je [[otevřená množina|otevřená]] podmnožina '''R''' × '''R''',
Je dána <math>F\colon G \to \R^n</math> spojitá funkce. Vaše doména definice <math>G</math> je jednou <math>[a,b] \times \overline{B}\left(y_0, R\right)</math> komplexní podskupinou <math>\mathbb{R} \times \R^n</math>. Zde označeno <math>\overline{B}\left(y_0, R\right)</math> dokončená koule kolem <math>y_0 \in \R^n</math> s poloměrem <math>R > 0</math>, diferenciální&nbsp;h.
: <math>f\|y(t)-y(s)\|colon D \leqto M|t-s|\mathbb{R}</math>
je spojitá funkce a
: <math>y'(x) = y_0 + f\int_a^xFleft(sx,y(sx)\right){\rm d}s</math>
je [[spojitá funkce|spojitá]] explicitní [[obyčejná diferenciální rovnice]] prvního řádu definovaná na ''D''.
 
Pak každá počáteční úloha
: <math>\overline{B}\left(y_0,R\right) := \{z \in \R^n \mid \|z-y_0\| \leq R\}</math>.
: <math>y'=F\left(x,y)x_0\ ,\ y(aright) = y_0</math>
pro všechna''f'' s <math>s(x_0,t y_0) \in [a,a+\alpha]D</math>.
má lokální řešení
:<math>z\colon I \to \mathbb{R}</math>
kde <math>I</math> je [[okolí (matematika)|okolí]] bodu <math>x_0</math> v <math>\mathbb{R}</math>,
takové, že <math> z'(x) = f\left(x,z(x)\right) </math> pro všechna <math> x \in I </math><ref>[[#CITEREFCoddingtonLevinson1955|strana 6]]</ref>.
 
Všimněte si, že řešení nemusí být jednoznačné: jedna a tatáž počáteční hodnota (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) může vést k mnoha různým řešením ''z''.
Pak je tu každý problém s počáteční hodnotou <math>\ y(a)=y_0</math> Pak je tu každý problém s počáteční hodnotou <math>y'(t)=F(t,y(t))</math> alespoň lokální řešení. Přesněji to znamená, že existuje <math>\alpha>0</math> dává a nepřetržitě diferencovatelnou funkci <math>y\colon[a,a+\alpha]\to \R^n</math>, který splňuje dvě podmínky:
 
* Pro všechna <math>t\in[a,a+\alpha]</math> leží bod<math>(t,y(t))</math> v <math>G</math>.
* Pro všechna <math>t\in[a,a+\alpha]</math> je diferenciální rovnice <math>y'(t)=F(t,y(t))</math> splňuje.
 
Jedno takové <math>\alpha > 0</math> lze přesně určit: Na uzavřené a omezené množině <math>[a,b] \times \overline{B}\left(y_0,R\right)</math> má spojitou funkci <math>\|F\|</math> nastavena maximální hodnotu
 
: <math>M := \max\{\|F(x,y)\| \mid (x,y) \in [a,b]\times \overline{B}\left(y_0,R\right)\}</math>.
 
Toto číslo je vázáno na sklon možného řešení. Vyberme si hned
 
== <math>\alpha := \min\left\{b-a, \frac{R}{M}\right\} > 0\ .</math> ==
Pak existuje (alespoň) jedno řešení problému počáteční hodnoty
 
: <math>y'=F(x,y)\ ,\ y(a) = y_0</math>
 
na intervalu <math>[a,a+\alpha]</math> s hodnotami v <math>\overline{B}\left(y_0,R\right)</math>.
 
Poznámka: Na komplexní diferenciální rovnice lze pohlížet analogicky tak, že budeme uvažovat o skutečné a imaginární části složité složky jako o nezávislé reálné složce, diferenciální&nbsp;hodnoty, tím, že dělá <math>\mathbb C^n</math>, zapomenout na složité násobení <math>\R^{2n}</math> je identifikován.
 
== Pro skutečné Banachovy prostory ==
<math>X</math> je skutečný Banachový prostor a <math>f\colon[0,T] \times X \to X </math> stabilní a kompaktní. Při každé počáteční hodnotě <math> x_0 \in X </math> pak existuje nějaké <math> \tau > 0 </math> a nějaké řešení <math> x(\cdot) \in C^1([0,\tau],X) </math> obyčejná diferenciální rovnice
 
: <math> x'(\cdot)=f(\cdot,x(\cdot))</math>
 
s <math> x(0) = x_0 </math>.
 
Poznámka: V případě <math>\dim(X)<\infty</math> vyplývá z kontinuity kompaktnost<math> f </math>.
 
== Důkazní skica konečněrozměrného případu ==
Tato věta je prokázána ve dvou částech. Prvním krokem je použít Eulerovu polygonovou metodu pro každou z nich <math>\varepsilon>0</math> charakteristický <math>\varepsilon</math>-Přibližné řešení této diferenciální rovnice, přesněji: Jeden konstruuje po částech spojitě diferencovatelnou funkci <math>y_\varepsilon \in C([a,a+\alpha]; \overline{B}(y_0,R))</math> s <math>y_\varepsilon(a) = y_0</math>, která
 
: <math>\|y_\varepsilon'(x) - F(x,y_\varepsilon(x))\| \leq \varepsilon</math>
 
splněny v každém diferencovatelném rozlišitelném bodě i podmínka rovnosti
 
: <math>\|y(t)-y(s)\| \leq M|t-s|</math>
 
pro všechna <math>s,t \in [a,a+\alpha]</math>.
 
V druhém krok ukazuje pomocí věty Arzelà-Ascoliho, že existuje jednotně konvergentní subsekvence dána <math>(y_{\varepsilon_j})_{j\in\mathbb{N}}</math>. Z jejich limitní funkce <math>y</math> se pak prokázalo, že integrální rovnici
 
: <math>y(x) = y_0 + \int_a^xF(s,y(s)){\rm d}s</math>
 
splňuje. Ze základní věty o analýze vyplývá, že <math>y</math> je stále dost spojitě diferencovatelná a diferenciální rovnice<math>\ y'(x) = F(x,y(x))</math>.
 
== Příbuzné věty ==
* {{Citace monografie| příjmení = Teschl| jméno = Gerald| odkaz na autora = Gerald Teschl| titul = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| vydavatel = American Mathematical Society| místo = Providence, Rhode Island| 7 = Providence| rok = 2012| isbn = 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.v/~gerald/ftp/book-ode/}}{{Nedostupný zdroj}}
* Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S., Existence Theorems for Ordinary Differential Equations, Krieger, New York, Reprinted 1976, Původní vydání publikoval New York University Press, 1954
A překlad textu z článku https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Peano na německé Wikipedii
 
* Herbert Amann: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen''. 2. Auflage. Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, <nowiki>ISBN 3-11-014582-0</nowiki>.
* Gerald Teschl:  (= . Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, <nowiki>ISBN 978-0-8218-8328-0</nowiki> (mat.univie.ac.at).
 
== Související články ==