Prvočíselná dvojice: Porovnání verzí

Nejmenší prvočíselnou dvojicí je dvojice (3, 5), dále následují (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), …. Největší dosud známá prvočíselná dvojice je (3 756 801 695 685 · 2^666 669 − 1; 3 756 801 695 685 · 2^666 669 + 1), obě čísla této dvojice mají (v [[desítková soustava|desítkové soustavě]]) 200 700 cifer.

Kromě první dvojice (3, 5) jsou všechny ostatní prvočíselné dvojice tvaru (6''n'' − 1, 6''n'' + 1) pro ''n'' přirozené. Čísla 6''n'' + 0, 6''n'' + 2, 6''n'' + 3 a 6''n'' + 4 jsou totiž dělitelná dvěma nebo třemi. Ne každá dvojice tohoto tvaru je ovšem prvočíselnou dvojicí – nejmenší příklad je již pro ''n'' = 4.

Tento výsledek lze rozšířit na tvrzení, že každá prvočíselná dvojice kromě (3, 5) a (5, 7) je ve tvaru (30''k'' − 1, 30''k'' + 1), (30''k'' + 11, 30''k'' + 13) nebo (30''k'' + 17, 30''k'' + 19). V ostatních dvojicích čísel je totiž alespoň jedno číslo dělitelné dvěma, třemi nebo pěti. Neboli ve vzorci pro potenciální prvočíselnou dvojici (6''n'' − 1, 6''n'' + 1) může být ''n'' pouze ve tvaru 5''k'', 5''k'' + 2 nebo 5''k'' + 3, nikoli však 5''k'' + 1 nebo 5''k'' + 4 (čísla 6[5''k'' + 1] -− 1 = 30''k'' -− 5 a 6[5''k'' + 4] + 1 = 30''k'' + 25 jsou totiž dělitelná pěti). Proto také ve vzorci (6''n'' − 1, 6''n'' + 1) pro ''n'' = 4 = 5×0 + 4 již nedostanunení prvočíselnouprvočíselná dvojicidvojice.