Totální diferenciál: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→top: formulace |
m Robot: oprava ISBN; kosmetické úpravy |
||
Řádek 9:
: a symbol <math>\cdot</math> značí [[skalární součin]].
== Definice ==
Nechť <math>f(\mathbf{x})</math> je [[funkce]] ''n'' [[reálné číslo|reálných]] proměnných definovaná na jistém okolí bodu <math>\mathbf{x}</math>. '''Totálním diferenciálem''' funkce <math>f(\mathbf{x})</math> v bodě <math>\mathbf{x}</math> nazýváme [[lineární funkce|lineární funkci]] <math>\mathrm{d}f_\mathbf{x}(\mathrm{d}\mathbf{x})</math>, s níž lze funkci <math>f</math> v okolí bodu <math>\mathbf{x}</math> [[aproximace|aproximovat]] jako
Řádek 34:
* Jestliže má funkce <math>f(\mathbf{x})</math> v bodě <math>\mathbf{x}</math> ''totální diferenciál'', pak je v bodě <math>\mathbf{x}</math> spojitá a má v něm [[derivace ve směru|směrovou derivaci]] v každém směru.
== Geometrický význam ==
* Pro názornou interpretaci geometrického významu ''totálního diferenciálu'' budeme uvažovat 2D funkci <math>f(\vec{x})=\sqrt{27-x^2-y^2}</math> a bod, ve kterém budem zkoumat existenci ''totálního diferenciálu'' <math>\vec{a}=(1,1)</math>.
* Jelikož tato funkce splňuje podmínky existence ''totálního diferenciálu'', musí platit <math>f(\vec{x})-f(\vec{a})=\sum_{i=1}^{r}{\alpha_{i}(x_{i}-a_{i})+\nu(\vec{x}-\vec{a})}</math>.
* Abychom si znázornili ''totální diferenciál'', vypustíme zbytkovou funkci <math>\nu(\vec{x}-\vec{a})</math>
* <math>\alpha_1=\frac{\partial f}{\partial x}(\vec{a})=-{\frac{x}{\sqrt{27-x^2-y^2}}}(1,1)=-{\frac{1}{5}}</math>, <math>\alpha_2=\frac{\partial f}{\partial y}(\vec{a})=-{\frac{y}{\sqrt{27-x^2-y^2}}}(1,1)=-{\frac{1}{5}}</math>, <math>f(\vec{a})=5</math>
* Po dosazení za neznámé do rovnice a přeznačení <math>f(\vec{x})</math> na <math>z</math> dostaneme <math></math> <math>z-5=-{\frac{1}{5}}(x-1)-\frac{1}{5}(y-1) \sim z=\frac{27}{5}-{\frac{x}{5}}-{\frac{y}{5}}</math>
* Nyní se podívejme na grafy funkcí <math>f(\vec{x})</math> a funkce <math>z(\vec{x})</math>
[[
* Z grafu je vidět že geometrický význam ''totálního diferenciálu'' je rovina tečná k funkci <math>f(\vec{x})</math> v bodě <math>\vec{a}</math>
* Pro funkci jedné proměnné představuje ''totální diferenciál'' tečnou přímku.
== Literatura ==
* Krbálek, Milan. Matematická analýza IV. 3., přeprac. vyd. V Praze: České vysoké učení technické, 2009, 252 s. {{ISBN
[[Kategorie:Matematické funkce]]
| |||