|
Nutná a postačující podmínka konvergence bývá také vyjadřována ve formě tzv. ''Bolzanova-Cauchyova kritéria''. Podle něj je nekonečná řada konvergentní právě tehdy, existuje-li k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> takové číslo <math>N(\varepsilon)</math>, že pro libovolná <math>m>N(\varepsilon), n>N(\varepsilon)</math> platí
:<math>\left|s_m-s_n\right|<\varepsilon</math>
=== Kritéria konvergence ===
Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady <math>s \,</math> jejím <math>n \,</math>-tým částečným součtem <math>s_n \,</math>. U konvergentních řad se chyba <math>|s_n-s| \,</math>, které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím <math>n \,</math> zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.
K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.
Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.
==== Srovnávací kritérium ====
Při ''srovnávacím (porovnávacím) kritériu'' uvažujeme dvě řady s nezápornými členy <math>\sum a_n, \sum b_n</math>, přičemž pro všechna <math>n \,</math> platí <math>0\leq a_n \leq b_n \,</math>. Řadu <math>\sum a_n</math> označujeme jako ''minorantní řadu'' (''minorantu'') k řadě <math>\sum b_n</math> a řadu <math>\sum b_n</math> jako ''majorantní řadu'' (''majorantu'') k řadě <math>\sum a_n</math>. Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. <math>\sum b_n</math>, konverguje také minoranta, tedy <math>\sum a_n</math>. Diverguje-li minoranta <math>\sum a_n</math>, diverguje také majoranta, tedy <math>\sum b_n</math>.
==== Podílové kritérium ====
Při ''podílovém kritériu'' konverguje řada s kladnými členy <math>\sum a_n</math> tehdy, existuje-li [[reálné číslo]] <math>0<q<1</math> takové, že pro každé <math>n</math> platí <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq q</math>. Pokud je <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1</math>, pak řada diverguje.
==== Limitní podílové kritérium ====
{{Podrobně|D'Alembertovo kritérium}}
Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy <math>\sum a_n</math> veličinu <math>L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}</math>, pak dostáváme tzv. ''limitní podílové kritérium konvergence'', podle kterého je řada <math>\sum a_n</math> konvergentní pro <math>L<1 \,</math>, divergentní pro <math>L>1 \,</math> a pro <math>L=1 \,</math> může být konvergentní nebo divergentní.
==== Odmocninové kritérium ====
Při ''odmocninovém (Cauchyově) kritériu'' uvažujeme, že řada s kladnými členy <math>\sum a_n</math> konverguje, pokud existuje [[reálné číslo]] <math>0 \leq q<1</math> a pro každé <math>n</math> platí <math>\sqrt[n]{a_n}\leq q</math>. Pro případ <math>\sqrt[n]{a_n}> 1</math> řada diverguje.
==== Limitní odmocninové kritérium ====
Pokud pro řadu s kladnými členy <math>\sum a_n</math> zavedeme <math>K = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}</math>, pak můžeme použít ''limitní odmocninové kritérium'', podle kterého je řada konvergentní pro <math>K<1 \,</math>, divergentní pro <math>K>1 \,</math> a pro <math>K=1 \,</math> může konvergovat nebo divergovat.
==== Raabeovo kritérium ====
{{Podrobně|D'Alembertovo kritérium}}
Podle ''Raabeova kritéria'' je řada s kladnými členy <math>\sum a_n</math> konvergentní tehdy, pokud existuje takové <math>r \in \mathbb{R}, r > 1</math> a takové přirozené číslo <math>n_0 \in \mathbb{N}</math>, že pro všechna <math>n \geq n_0</math> platí <math>n \left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right) \geq r > 1</math>.
Jestliže existuje <math>n_0 \in \mathbb{N}</math> takové, že pro všechna <math>n \geq n_0</math> platí <math>n \left( 1-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right) \leq 1</math>, pak řada <math>\sum a_n</math> diverguje.
==== limitní Raabeovo kritérium ====
{{Podrobně|D'Alembertovo kritérium}}
Jestliže pro řadu s kladnými členy <math>\sum a_n</math> zavedeme <math>M = \lim_{n \to \infty} n \left( 1-\frac{a_{n+1}}{a_n} \right)</math>, pak na základě ''limitního Raabeova kritéria'' určíme, že řada konverguje pro <math>M>1 \,</math>, diverguje pro <math>M<1 \,</math> a pro <math>M=1 \,</math> může konvergovat i divergovat.
==== Integrální kritérium ====
Nechť <math>\sum a_n</math> je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako <math>a_n=f(n) \,</math>. Pokud ve funkci <math>f(n) \,</math> nahradíme diskrétní [[proměnná|proměnnou]] <math>n \,</math> spojitou proměnnou <math>x \,</math>, přičemž <math>f(x) \,</math> bude [[spojitá funkce|spojitou]] a [[klesající funkce|klesající funkcí]] na [[interval (matematika)|intervalu]] <math>\langle 1,+\infty)</math>, pak podle tzv. ''integrálního kritéria'' je řada <math>\sum a_n</math> konvergentní tehdy, pokud [[konvergentní integrál|konverguje integrál]] <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math>. Pokud integrál <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> [[divergentní integrál|diverguje]], pak diverguje také řada <math>\sum a_n</math>.
==== [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnizovo]] kritérium ====
Pro [[alternující řada|alternující řady]], které zapíšeme jako <math>\sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n}a_n</math>, kde <math>a_n\geq0 \,</math>, lze použít ''Leibnizovo kritérium''. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud existuje <math>n_0</math> takové, že <math>a_{n_0}>a_{n_0+1}>a_{n_0+2}>... \,</math> (tj. od určitého indexu ryze monotónně klesá), a zároveň <math>\lim_{n \to \infty} a_n=0</math>.
==== [[Carl Friedrich Gauss|Gaussovo]] kritérium ====
<ref>[http://eom.springer.de/g/g043420.htm Springer online, Gauss criterion]</ref>Nechť <math>(a_n) \,</math> je kladná [[posloupnost (matematika)|posloupnost]], pro niž existují <math>q, \alpha \in \mathbb{R}</math>, kladné <math>\varepsilon</math> a omezená posloupnost <math>(c_n) \,</math> taková, že pro všechny <math>n \in \mathbb{N}</math> platí:
:<math>\frac{a_{n+1}}{a_n} = q - \frac{\alpha}{n} + \frac{c_n}{n^{1 + \varepsilon}}</math>
* Když <math>q < 1 \,</math> nebo když <math>q = 1 \,</math> a <math>\alpha > 1 \,</math>, pak řada <math>\sum a_n</math> konverguje.
* Když <math>q > 1 \,</math> nebo když <math>q = 1 \,</math> a <math>\alpha \leq 1</math>, pak řada <math>\sum a_n</math> diverguje.
==== [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichletovo]] kritérium ====
Nechť <math>(a_n) \,</math> je reálná posloupnost a <math>(b_n) \,</math> komplexní posloupnost, pro které platí:
* <math>(a_n) \,</math> je od jistého indexu monotonní a <math>\lim_{n \to \infty} a_n=0</math>;
* <math>(b_n) \,</math> má omezenou posloupnost částečných součtů.
Pak řada <math>\sum a_n b_n</math> konverguje.
==== [[Niels Henrik Abel|Abelovo]] kritérium ====
Nechť <math>(a_n) \,</math> je reálná posloupnost a <math>(b_n) \,</math> komplexní posloupnost, pro které platí:
* <math>(a_n) \,</math> je monotonní a omezená;
* <math>\sum b_n</math> je konvergentní řada.
Pak řada <math>\sum a_n b_n</math> konverguje.
Existuje také verze [[Abelovo kritérium stejnoměrné konvergence|Abelova kritéria stejnoměrné konvergence]] pro řady funkcí.
== Přerovnání řady ==
| 