Fibonacciho posloupnost: Porovnání verzí

</math>

 

Fibonacciho posloupnost byla poprvé popsána italským matematikem [[Leonardo Fibonacci|Leonardem Pisánským]] (Leonardo z [[Pisa|Pisy]]), známým také jako Fibonacci (cca [[1175]]–[[1250]]), k popsání růstu populace králíků (za poněkud idealizovaných podmínek). Číslo ''F(n)'' popisuje velikost populace po ''n'' měsících, pokud předpokládáme, že

* První měsíc se narodí jediný pár.

Posloupnost lze obdobně definovat i pro záporná čísla.

 

Termín ''Fibonacciho posloupnost'' je někdy používán i pro jiné posloupnosti, ve kterých platí, že ''f(n+2)'' = ''f(n)'' + ''f(n+1)''. Libovolnou takovou posloupnost lze zapsat jako ''f(n+2)'' = ''aF(n)'' + ''bF(n+1)'', pro nějaké [[koeficient]]y ''a, b'', tzn. tyto posloupnosti tvoří [[vektorový prostor]] s posloupnostmi ''F(n)'' a ''F(n+1))'' jako [[Báze (algebra)|bází]].

 

Speciální případ takové obecné Fibonacciho posloupnosti s ''f(1)'' = 1 a ''f(2)'' = 3 se nazývá ''[[Lucasova čísla]]''.

 

 

Jak zjistil už [[Johannes Kepler]], rychlost růstu Fibonacciho posloupnosti, tzn. podíl dvou po sobě jdoucích členů ''F(n+1)'' / ''F(n)'', [[konvergentní posloupnost|konverguje]] k hodnotě [[Zlatý řez|zlatého řezu]] ''φ'' = (1+√5) / 2 ≈ 1,618. Pomocí tohoto faktu, techniky [[Generující funkce|generujících funkcí]], nebo pomocí řešení [[Rekurentní rovnice|rekurentních rovnic]] lze dospět k následujícímu explicitnímu (nerekurzivnímu) vztahu pro ''n''-tý člen Fibonacciho posloupnosti:

Ve skutečnosti je druhý člen tak malý i pro malá ''n'', že ho lze zcela zanedbat a Fibonacciho čísla získávat prostým [[zaokrouhlení]]m prvního členu na nejbližší [[celé číslo]].

 

 

Výpočet ''n''-tého Fibonacciho čísla přímým dosazením do výše uvedeného explicitního vzorce je sice rychlá metoda, avšak kvůli hromadícím se nepřesnostem při výpočtu za použití [[Číslo v plovoucí řádové čárce|čísel s plovoucí řádovou čárkou]] je pro větší ''n'' nepoužitelná.

== Vlastnosti ==

[[Soubor:PascalTriangleFibanacci.svg|thumb|right|360px|Fibonacciho čísla jsou součty "mělkých úhlopříček" [[Pascalův trojúhelník|Pascalova trojúhelníku]]. (červeně zvýrazněných)]]

 

== Význam ==