Vlastní vektory a vlastní čísla: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m Robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy |
napřímení odkazů, duplicitní odkazy, + portály |
||
Řádek 1:
V [[matematika|matematice]] označuje '''vlastní vektor''' (anglicky eigenvector, německy Eigenvektor) dané [[transformace souřadnic|transformace]] nenulový [[vektor]], jehož [[směr]] se při transformaci nemění. Koeficient, o který se změní [[norma
Daný vektor může mít i jiná označení, je například zvykem říkat ''vlastní řešení'' (pokud je vektor řešením nějaké rovnice), ''vlastní funkce'' (pokud jde o funkci), ''vlastní stav'' (pokud vektor popisuje [[kvantový stav]]), apod.
Vlastní čísla hrají důležitou roli nejen v
== Definice a značení ==
Řádek 11:
Číslo <math>\lambda</math> se nazývá '''vlastní číslo''' (též '''charakteristické číslo''') '''operátoru''' <math>\mathbf{A}</math> a <math>\mathbf{u}</math> '''vlastní vektor operátoru''' <math>\mathbf{A}</math> příslušný vlastní hodnotě <math>\lambda</math>.
V
<math>\hat A u = A u</math>
anebo
Řádek 41:
Tato rovnice se nazývá '''charakteristická rovnice'''. Rovnice podobného typu bývají také označovány jako '''sekulární rovnice''', protože dříve sloužily k výpočtům pohybů planet (jejich odchylek od eliptických drah).
[[Polynom]] na levé straně této [[rovnice]] se nazývá ''charakteristický polynom'' matice <math>\mathbf{A}</math> a jeho [[
Vlastní vektory matice <math>\mathbf{A}</math> vyhovují rovnici <math>(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{E})\cdot \mathbf{u} = \mathbf{0}</math> pro jednotlivá vlastní čísla.
Řádek 97:
* Pokud má matice <math>\mathbf{A}</math> vlastní číslo <math>\lambda</math> a odpovídající vlastní vektor <math>\mathbf{u}</math>, pak matice <math>\mathbf{A}^2</math> má vlastní číslo <math>\lambda^2</math> a jemu odpovídající vlastní vektor je <math>\mathbf{u}</math>.
* Je-li vlastním číslem reálné matice <math>\mathbf{A}</math> [[komplexní číslo]] <math>z</math>, pak je také komplexně sdružené číslo <math>\overline z</math> vlastním číslem matice <math>\mathbf{A}</math>.
* Je-li [[Operátor#Lineární operátor|lineární operátor]] <math>\hat A</math> [[hermitovský operátor|hermitovský]], jsou všechna vlastní čísla [[reálné číslo|reálná]].
== Spektrum operátoru ==
Řádek 104:
Množina všech vlastních čísel tvoří část spektra operátoru. Tato část se nazývá '''bodové (diskrétní) spektrum'''. Dalšími částmi spektra mohou být spojité spektrum a reziduální spektrum.{{Fakt/dne|20130527222948}}
Nechť <math>\hat A</math> je
Pokud ke každému vlastnímu číslu <math>A_n</math> přísluší právě jedna vlastní funkce <math>u_n</math>, pak říkáme, že operátor má ''prosté (nedegenerované) spektrum''.
Řádek 120:
* [[Soustava lineárních rovnic]]
* [[Spektrum matice]]
{{Autoritní data}}
{{Portály|Matematika}}
[[Kategorie:Lineární algebra]]
| |||