Verze z 6. 12. 2016, 23:03 editovat HypoBOT (diskuse \| příspěvky) 113 777 editací m Přidání šablony Commonscat dle ŽOPP z 28. 7. 2016; kosmetické úpravy ← Přejít na předchozí porovnání		Verze z 21. 4. 2017, 11:28 editovat zrušit editaci Mykhal (diskuse \| příspěvky) Prověření uživatelé, Patroláři, Revertéři, Správci 40 379 editací opraven symbol skládacího operátoru Přejít na další porovnání →
Řádek 8: * [[Třída (matematika)\|třídy]] '''objektů''' ob(''C'') * třídy [[morfismus\|morfismů]] hom(''C'') . Každý morfismus ''f'' má právě jeden ''zdrojový objekt a'' a ''cílový objekt b'' kde ''a'' a ''b'' jsou z ob(''C''). Píšeme ''f'': ''a'' → ''b'' a říkáme, že „''f'' je morfismus z ''a'' do ''b''“. Pomocí hom(''a'', ''b'') (nebo hom<sub>''C''</sub>(''a'', ''b'')) označujeme třídu všech morfismů z ''a'' do ''b'' * pro každé tři objekty ''a'', ''b'' a ''c'' je definována [[operace (matematika)\|operace]] hom(''a'', ''b'') × hom(''b'', ''c'') → hom(''a'', ''c'') nazývaná ''skládání morfismů''. Složení ''f'' : ''a'' → ''b'' a ''g'' : ''b'' → ''c'' se zapisuje jako ''g'' o∘ ''f'' nebo ''gf'' (někteří autoři také píšou ''fg'' nebo ''f;g''). Pro skládání morfismů platí následující dvě vlastnosti ([[asociativita]]) pokud ''f'' : ''a'' → ''b'', ''g'' : ''b'' → ''c'' a ''h'' : ''c'' → ''d'', tak ''h'' o∘ (''g'' o∘ ''f'') = (''h'' o∘ ''g'') o∘ ''f''; ([[Identita (matematika)\|identita]]) pro každý objekt ''x'' existuje morfismus 1<sub>''x''</sub> : ''x'' → ''x'' nazývaný ''identita na n'', a to takový, že pro všechny morfismy ''f'' : ''a'' → ''b'' platí 1<sub>''b''</sub> o∘ ''f'' = ''f'' = ''f'' o∘ 1<sub>''a''</sub>. Z definice lze dokázat, že [[Kvantifikátor jednoznačné existence\|existuje právě jedna]] identita na každém objektu. Řádek 24: * Kategorie '''Set''' všech množin: objektem je jakákoli množina, morfismem z množiny ''a'' do množiny ''b'' je jakékoli zobrazení, jehož definiční obor je celá množina ''a'' a obor hodnot je podmnožinou ''b''. Teorie kategorií studuje vlastnosti, které lze o matematických strukturách říci, aniž bychom mluvili o jejich prvcích; smíme mluvit jen o objektech, morfismech a skládání morfismů: Pokud f je morfismus z objektu ''a'' do ''b'' a ''g'' je morfismus z ''b'' do ''c'', pak existuje [[Skládání zobrazení\|složený morfismus]] ''g'' o∘ ''f'' z ''a'' do ''c''. Toto skládání je [[Asociativita\|asociativní]] a pro každý objekt ''a'' existuje jednotkový morfismus 1<sub>''a''</sub> z ''a'' do ''a'' tak, že ''f'' o∘ 1<sub>''a''</sub> = ''f'' (pro každý morfismus ''f'' z jakéhokoli objektu ''a'' do ''b'') a podobně 1<sub>''b''</sub> o∘ ''g'' = ''g'' pro každý morfismus z ''a'' do ''b''. Příklad: V kategorii [[Abelova grupa\|komutativních grup]] uvažujme grupy Z, Q, R celých, racionálních a reálných čísel. Mějme tato zobrazení :::: f: Z → Q tak, že f(x) = 10x :::: g: Q → R tak, že g(x) = 2x Jedná se skutečně o morfismy v této kategorii, neboť splňují definici grupového [[Homomorfismus\|homomorfismu]]. Pak zobrazení ''h'' = ''g'' o∘ ''f'' a ''j = 1<sub>''Q''</sub>'' vypadají takto: ::: ''h(x) = g(f(x)) = 20x'' pro každé celé číslo x

Teorie kategorií: Porovnání verzí