Rozšířená reálná čísla: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m →Nerovnost a \varepsilon-okolí: typografie |
Rozšířil jsem část článku "aritmetické operace" a přidal k ní uspořádání (stávající bylo méně přesné). Uspořádání v jiné, poměrně nelogické části textu jsem smazal. značky: možné problémové formulace editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 3:
Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro [[Limita funkce|limitu funkce]] <math> y = \lim_{x\to x_0}f(x)\,\! </math> je potřeba ošetřit celkem devět možností: <math>x_0\,\! </math> i <math>y\,\! </math> může být reálné číslo, <math> -\infty \,\! </math> nebo <math> +\infty \,\! </math>; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.
== Aritmetické operace a uspořádání ==
=== Aritmetické operace ===
==== Sčítání a odčítání ====
== Nerovnost a <math>\varepsilon</math>-okolí ==▼
Definovat zde budeme pouze sčítání. Všimneme si, že odčítání je v něm již zahrnuto, např. <math>\infty + (-4) = \infty - 4 </math> .
* <math>\forall x \in \R^* \setminus \{-\infty\} : (\infty + x) = (x + \infty) = \infty </math>
* <math>- (\infty) = - \infty </math>
* <math>-(-\infty) = \infty </math>
Definice je poměrně přirozená, jelikož zachovává zvyklosti z reálných čísel a "s nekonečnem operuje nekonečně" . První dva body říkají, že když k nekonečnu cokoli přičteme, dostaneme opět nekonečno (vyjma nekonečna s opačným znaménkem). To dává smysl i nematematicky : když přidáme nebo ubereme z něčeho nekonečného, pořád toho bude nekonečně. Druhé dva body přesně kopírují chování reálných čísel, např. <math>-(4)= - 4 </math> a také <math>-(-\pi) = \pi </math>.
==== Násobení a dělení ====
* <math>\forall x \in \R^*, x>0 : (\pm\infty) * x = x * (\pm\infty) = \pm\infty </math>
* <math>\forall x \in \R^*, x<0 : (\pm\infty) * x = x * (\pm\infty) = \mp\infty </math>
* <math>\forall x \in \R : \left ( \frac{x}{\pm\infty} \right ) = 0 </math>
I v tomto případě dává definice dobrý smysl. První dva body opět kopírují vlastnosti násobení reálných čísel, např. <math>4 * (-8) = -32 </math> nebo <math>(-7) * (-2) = 14 </math> , neboli násobení s nekonečnem nakládá stejně, jako by to bylo obyčejné reálné číslo. Poslední bod si můžeme představit následovně. Zvolme si x = 1 (pro jednoduchost). Místo nekonečna si postupně dosazujme větší a větší čísla 10, 100, -1000, <math>10^{10} </math> , <math> -10^{1000} </math> atd. Zlomek se tím více přibližuje nule, čím větší číslo do jmenovatele dosadíme (čím větší číslo v absolutní hodnotě). Proto když do jmenovatele dosadíme nekonečně velké číslo, celý zlomek bude roven nule.
==== Absolutní hodnota ====
* <math>|\pm\infty| = \infty </math>
Stejně tak absolutní hodnota se k nekonečnu chová jako k reálnému číslu
=== Nedefinované aritmetické operace ===
Výše nebyly definovány některé operace, jelikož neumíme říci, čemu by se měly rovnat, např.
* <math>\infty + (- \infty) </math>
* <math> (-\infty) + \infty </math>
* <math>\pm\infty * 0 </math>
* <math>0*\pm\infty </math>
* <math>\left ( \frac{\pm\infty}{\pm\infty} \right ) </math>
* <math>\left ( \frac{x}{0} \right ) , \forall x \in \R^* </math>
Zvažme například, proč si neumíme poradit s posledním bodem. Pokusme se definovat <math> \left ( \frac{x}{0} \right ) </math> obdobně, jak jsme definovali, že <math>\forall x \in \R : \left ( \frac{x}{\pm\infty} \right ) = 0 </math>. Dosadíme x = 1 (pro jednoduchost) a místo nuly uvažujme malá čísla - 0,1 ; 0,0001; - 0,00000001; 0,0000000000001. Narážíme zde na problém - zlomek se sice neustále zvětšuje, ale když dosazujeme kladná a záporná čísla, zvětšuje se "jinam", totiž směrem k <math> \infty </math> a <math> - \infty </math>. A bohužel nelze říci, zdali by výsledek <math> \left ( \frac{x}{0} \right ) </math> měl být spíše jedno, či druhé.
=== Uspořádání ===
Množina reálných čísel je uspořádaná, tj. pro každá dvě čísla umíme říct, které z nich je větší, nebo že se rovnají, např. <math>4 > 3 </math> ''';''' <math>e < \pi </math> ''';''' <math>\left ( \frac{3125}{625} \right ) = \left ( \frac{65}{13} \right ) </math> . Nyní chceme definovat, jak jsou vůči těmto prvkům uspořádané nové dva prvky <math> +\infty , -\infty </math>
* <math> \forall x \in \R : - \infty < x </math>
* <math> \forall x \in \R : \infty > x </math>
* <math> - \infty < \infty </math>
Pojem „'''<math>\varepsilon-\,\! </math> [[Okolí (matematika)|okolí]] bodu <math>x\,\! </math>'''“ je označován <math> U_\varepsilon(x)\,\! </math> a má tuto definici:
| |||