Logaritmus: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
→Externí odkazy: +Wikislovník |
Intuitivní odvození a historie |
||
Řádek 5:
V tomto vztahu se číslo ''a'' označuje jako '''základ logaritmu''' (''báze''), logaritmované číslo ''x'' se někdy označuje jako '''argument''' či '''numerus''', ''y'' je pak logaritmem čísla ''x'' při základu ''a''.
[[Soubor:Ln+e.svg|Graf logaritmické funkce o základu e|
[[Soubor:logb10.svg |thumb|upright=1.1|Graf logaritmické funkce o základu 10]]
== Intuitivní odvození ==
Myšlenka logaritmu vznikla jako rozšíření myšlenky [[exponent]]u. Že 2 × 2 = 4 můžeme zapsat také jako 2<sup>1</sup> × 2<sup>1</sup> = 2<sup>2</sup> a místo 4 × 8 = 32 můžeme napsat 2<sup>2</sup> × 2<sup>3</sup> = 2<sup>5</sup>. Exponent součinu je tedy součet exponentů obou součinitelů, takže při zvoleném základu (2) můžeme násobení převést na sčítání exponentů, zatím jen pro celé exponenty. Podobně můžeme zapsat i dělení: 32:4 = 2<sup>5</sup>: 2<sup>2</sup> = 2<sup>3</sup>, čili 8. Stejně 1/2 = 1:2 = 2<sup>0</sup>:2<sup>1</sup> = 2<sup>-1</sup> čili 0,5. Místo dělení stačí odečítat exponenty.
Číslo 2 jsme zvolili jako základ a místo „exponentu dvou“ můžeme psát log<sub>2</sub>. Můžeme tedy napsat, že log<sub>2</sub> 32 = 5, log<sub>2</sub> 8 = 3, log<sub>2</sub> 4 = 2, log<sub>2</sub> 1 = 0 a log<sub>2</sub> 0,5 = -1. Pro každé číslo x (kromě nuly) platí, že log<sub>2</sub> 2x = (log<sub>2</sub> x) + 1, log<sub>2</sub> 4x = (log<sub>2</sub> x) + 2.
Protože 8 = 2<sup>3</sup>, můžeme také psát 8 = 2<sup>1</sup> × 2<sup>1</sup> × 2<sup>1</sup> = 2<sup>(1+1+1)</sup> a 8 = 2<sup>(3x1)</sup>, takže místo umocňování stačí exponent násobit a místo odmocnění exponent dělit.
Kdybychom místo dvojky zvolili základ 10 (desítkový logaritmus), můžeme psát log<sub>10</sub> 0,1 = -1, log<sub>10</sub> 1 = 0 (to platí pro každý základ), log<sub>10</sub> 100 = 2 atd. I tady bude platit, že log<sub>10</sub>10x = (log<sub>10</sub> x) + 1, log<sub>10</sub> 100x = (log<sub>10</sub> x) + 2.
Dokud jsme mluvili o exponentech, mělo to smysl jen pro celá čísla. Když jsme ale zmínili, že místo odmocňování stačí exponent dělit, může vyjít i necelé číslo: druhou odmocninu z deseti bychom mohli zapsat jako 10<sup>(0,5)</sup>. To je právě to, co dělá logaritmická funkce: pokud různé hodnoty výrazu z<sup>x</sup> vyneseme do grafu (viz obrázek), můžeme jimi proložit spojitou křivku – logaritmickou funkci, které má hodnotu pro všechna reálná x kromě nuly. Logaritmus čísla 3 bude někde mezi log<sub>10</sub>1 a log<sub>10</sub>10, tedy reálné číslo někde mezi nulou a jedničkou. Z tabulky můžeme zjistit, že log<sub>10</sub> 3 = 0,47712125472, takže číslo 3 můžeme zapsat jako 10<sup>0,47712125472</sup>. I zde bude platit, že log<sub>10</sub> 10x = (log<sub>10</sub> x) + 1, log<sub>10</sub> 0,1x = ( log<sub>10</sub> x) - 1, že logaritmus součinu se rovná součtu logaritmů obou sčítanců a logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmus dělence minus logaritums dělitele. Logaritmus mocniny je násobek logaritmu mocněnce a logaritmus odmocniny je podíl logaritmu odmocněnce a logaritmu odmocnitele.
== Historie a použití ==
Počátkem novověku, s rozvojem [[astronomie]] a [[geodézie]] a s potřebami námořní navigace, nesmírně vzrostla potřeba složitých výpočtů, zejména [[Trigonometrická funkce|trigonometrických]], a to na velký počet platných číslic. O myšlence nahradit násobení sčítáním se poprvé zmiňuje korespondence švýcarského matematika a hodináře [[Jost Bürgi|Josta Bürgiho]] v roce 1588. Ten skutečně sestavil tabulky funkce [[sinus]] a brzy po roce 1600 i tabulky logaritmů, které však publikoval až roku 1620 v Praze. O šest let dříve publikoval metodu logaritmů skotský matematik [[John Napier]], který tak platí za jejich objevitele.
Jostovi Bürgimu přesto patří prvenství, že jako první publikoval [[logaritmické tabulky]], nezbytnou praktickou pomůcku k použití logaritmů. Logaritmické tabulky, zejména hodnot trigonometrických funkcí, pak vycházely až do 20. století a byly nezbytnou pomůckou astronomů, geodetů, ale i námořních kapitánů a konečně studentů aplikované matematiky. Pro přibližné technické výpočty (na 2-3 platná místa) se od poloviny 19. století nesmírně rozšířilo [[logaritmické pravítko]], do poloviny 20. století nástroj každého inženýra. Teprve s rozšířením elektronických kalkulaček a počítačů od 60. let 20. století tyto pomůcky pozvolna vymizely a s logaritmickou funkcí pracují hlavně matematici a teoretičtí fyzikové, kdežto praktický výpočet jejích hodnoty i logaritmů svěřujeme počítačům.
== Vlastnosti logaritmů ==
* <math>a^{\log_a x} = \log_a{a^x} = x \,\!</math> (Logaritmus je [[Inverzní zobrazení|inverzní funkcí]] k [[Exponenciální funkce|exponenciální funkci]] o stejném základu.)
| |||