Komplexní číslo: Porovnání verzí

[[Soubor:Complex conjugate picture.svg|thumb|upright|Znázornění komplexního čísla <math>z = x + iy\mathrm{i}y</math> a čísla k němu [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdruženého]] <math>\bar z = x - iy\mathrm{i}y</math> v [[komplexní rovina|komplexní rovině]]. ''r'' je [[absolutní hodnota]] (norma).]]

'''Komplexní čísla''' (z latinského ''complexus'', složený) vznikají rozšířením oboru [[reálné číslo|reálných čísel]] tak, aby v něm každá algebraická rovnice měla příslušný počet řešení podle [[Základní věta algebry|základní věty algebry]]. Například [[kvadratická rovnice]] ''x''² + 1 = 0 nemá v oboru reálných čísel řešení, protože její [[diskriminant]] (−4) je záporný a jeho odmocnina zde není definována. Komplexní číslo má dvě složky, reálnou a imaginární, a zapisuje se nejčastěji jako ''a'' + ''bib''i, přičemž ''i'' znamená [[imaginární jednotka|imaginární jednotku]], definovanou vztahem ''i''² = −1. Zmíněná rovnice pak má dvě řešení, ± ''i''. Pro operace s komplexními čísly platí pravidla pro počítání s dvojčleny.

'''Komplexním číslem''' nazveme číslo tvaru <math> a + bib\mathrm{i} \,\! </math>, kde <math> a \,\! </math> a <math> b \,\! </math> jsou [[Reálné číslo|reálná čísla]]. Tento tvar komplexního čísla se nazývá '''algebraický'''. Písmeno <math> \mathrm{i} \,\! </math> značí '''imaginární jednotku''', která se formálně zavádí jako číslo splňující rovnici <math>\mathrm{i}^2+1=0\,,</math> tj. jako [[odmocnina]] z −1, která v reálných číslech neexistuje.

Elektrotechnici používají komplexní čísla velice často k výpočtu střídavých proudů obvodem, a protože přitom střídavý proud (resp. jeho okamžitou hodnotu) označují malým písmenem i, neoznačují imaginární jednotku písmenem i, ale písmenem j. Na pořadí zápisu imaginární části zpravidla nezáleží <math> ( bib\mathrm{i} = ib\mathrm{i}b ) \,\! </math>, jen v tabulkových procesorech se znak "i" nebo "j" dává vždy za číslo, aby nedocházelo k záměnám s adresami buněk ve sloupci I nebo J.

* <math> 0 + x \cdot \mathrm{i} = x \cdot \mathrm{i} \,\! </math>

* <math> x + 0 \cdot \mathrm{i} = x \,\! </math>

* <math> 1 \cdot \mathrm{i} = \mathrm{i} \,\! </math>

* <math> -1 \cdot \mathrm{i} = -\mathrm{i} \,\! </math>

Číslo <math> z = 3 + 2i2\mathrm{i} \,\! </math> má reálnou část <math> \mathrm{Re}(z) = 3 \,\!</math> a imaginární část <math> \mathrm{Im}(z) = 2 \,\!</math>. Nejedná se ani o reálné, ani o ryze imaginární číslo.

Polynom <math> x^2 + 1 \,\! </math> nemá v oboru reálných čísel žádný kořen. V oboru komplexních čísel jsou jeho kořeny čísla <math> \mathrm{i} \,\! </math> a <math> -\mathrm{i} \,\! </math>, protože:

* <math> \mathrm{i}^2 + 1 = -1 + 1 = 0 \,\! </math>

* <math> (-\mathrm{i})^2 + 1 = -1 + 1 = 0 \,\! </math>

* <math>(a+ib\mathrm{i}b)+(c+id\mathrm{i}d)=(a+c)+\mathrm{i}(b+d) \,\! </math>

* <math>(a+ib\mathrm{i}b)-(c+id\mathrm{i}d)=(a-c)+\mathrm{i}(b-d) \,\! </math>

* <math>(a+ib\mathrm{i}b)\cdot(c+id\mathrm{i}d)=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad + bc) \,\! </math>

* <math> {a + ib\mathrm{i}b \over c + id\mathrm{i}d} = {(a + ib\mathrm{i}b) (c - id\mathrm{i}d) \over (c + \mathrm{i} d) (c - \mathrm{i} d)} = {(ac+bd) + \mathrm{i} (bc-ad) \over c^2 + d^2} = \left({a c + b d \over c^2 + d^2}\right) + \mathrm{i} \left( {b c - a d \over c^2 + d^2} \right). </math>

Pro komplexní číslo <math>z=a+bib\mathrm{i}</math> je definována '''konjugace''' ([[komplexně sdružené číslo]]) <math>\bar{z}:=a-bib\mathrm{i}</math>. Jejich součin <math>z\bar{z}=a^2+b^2</math> je vždy reálný a nezáporný a je roven nule pouze když <math>z=0</math>. Pak můžeme psát pro inverzi stručně <math>z^{-1}=\bar{z}/(z\bar{z})</math> pro <math>z\neq 0</math>.

Každé komplexní číslo ''z'' různé od nuly je možné jednoznačně vyjádřit v [[goniometrie|goniometrickém]] tvaru. Pokud si v komplexní rovině zvolíme [[Polární soustava souřadnic|polární]] [[Soustava souřadnic|souřadnicový systém]], vzdálenost od počátku označíme ''|z|'' ([[absolutní hodnota]], také nazývaná norma nebo modul) a orientovaný [[úhel]] <math>\varphi = \mathrm{JOZ}</math> (argument), kde J[1;0], O je počátkem soustavy a Z je obraz komplexního čísla ''a'' + ''bib''i se souřadnicemi Z[''a'';''b''], platí:

<math>z=|z|(\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi) \,</math>.

Absolutní hodnotu z algebraického tvaru komplexního čísla <math>z = a + bib\mathrm{i}</math> lze vyjádřit takto:

Pro dělení komplexních čísel <math>z_1=|z_1| \cdot (\cos \varphi_1 + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi_1)</math> a <math>z_2=|z_2| \cdot (\cos \varphi_2 + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi_2)</math> platí následující rovnice:

:<math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi_1 - \varphi_2)]</math>

:<math>z_1 \cdot z_2=|z_1| \cdot |z_2| \cdot [\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi_1 + \varphi_2)]</math>

:<math>z^n = |z|^n (\cos n\varphi + \mathrm{i}\sin n\varphi) \,</math>

Platí: ''h''(''x'') = ''f''(''x'') + i''igg''(''x'')

:<math>e^{\mathrm{i}\pi} + 1 = 0 \, </math>,

Komplexní čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní [[těleso (algebra)|těleso]]. Je to největší komutativní algebraické nadtěleso reálných čísel a [[algebraický uzávěr]] tělesa reálných čísel. Toto těleso nelze okruhově uspořádat, protože <math>\mathrm{i}^2=-1<0</math>.

Číslo <math>(0,1)</math> pak nazveme [[imaginární jednotka|imaginární jednotkou]] (zapisujeme <math>\mathrm{i}</math>). Pro číslo <math>\mathrm{i}</math> platí <math>\mathrm{i}^2=-1</math>.