Wikipedie

Logaritmus: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii
← Přejít na předchozí porovnáníPřejít na další porovnání →
Smazaný obsah Přidaný obsah
VizuálníWikitext
upřesnění tečného bodu tečny grafu funkce ln(x) -> y = x + 1 →‎Speciální báze
rv: bylo správně, vy máte na mysli tečnu logaritmické funkce, věta hovoří o exponenciále; je to prakticky totéž, ale nedá se to míchat v jedné větě; pár namátkových typoúprav
Řádek 96:
|}
 
Je vidět, že takto upravené hodnoty jsou celkem rozumně rozloženy mezi -11−11,5 a nulou. Na závěr dodejme, že [[pH]] je definováno přibližně takto, pouze logaritmus koncentrace je uváděn bez znaménka. (Koncentrace je vždy menší nebo rovna 1, proto logaritmus koncentrace bude vždy menší nebo roven 0.)
 
== Speciální báze ==
=== Desítkový logaritmus ===
U logaritmu o základu 10 (nazývaného '''desítkový''' či '''dekadický logaritmus''', příp. '''Briggsův''' podle [[Henry Briggs|Henryho Briggse]]) se ve značení vynechává základ a píše se jen prostě log ''x'', někdy se používá také speciální značení lg ''x''.
Je třeba si však dát pozor: použité značení se může v různých odborných literaturách lišit. lg&nbsp;''x'' se běžně využívá ve významu <math>\log_2 x \,\!</math> a ne <math>\log_{10} x \,\!</math>.
 
=== Přirozený logaritmus ===
Logaritmus o základu ''[[Eulerovo číslo|e]]'' (<math>\log_{e} x \,\!</math>) se označuje jako '''přirozený logaritmus''' (někdy také '''Napierův''' podle [[John Napier|Johna Napiera]]) a značí se <math>\ln x \,\!</math> (''logaritmus naturalis'', [[latina|latinsky]] ''přirozený logaritmus''). Vznikl tak, že se hledal '''základ exponenciální funkce''', tak, aby '''[[tečna|tečnou]] této exponenciály''' v bodě '''A=(0,1,0) byla [[přímka#směrnicová rovnice přímky|přímka]] <math>y = x + 1'''</math>. Byl nalezenOdpovídající základ, nazván byl označen písmenem ''e'' a pojmenován ([[Eulerovo číslo]]), (podle [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]], který se podílel na objevu tohoto čísla).
 
=== Binární logaritmus ===
Hlavně v [[informatika|informatice]] se objevuje logaritmus o základu dva ('''binární logaritmus'''), který je v příslušném kontextu někdy značen <math>\lg x \,\!</math>, případně <math>\operatorname{lb&nbsp;''} x''</math>.
 
Platí že: log<submath>2</sub>(\log_2 n) = \frac{\ln( n)/}{\ln( 2)} = \frac{\log( n)/}{\log( 2)}</math>
 
Např.: Připři [[binární vyhledávání|binárním vyhledávání]] v setříděném seznamu, který má ''n'' položek, je potřeba maximálně <math>log_{2}(n)</math> kroků k nalezení hledané hodnoty. Tato technika je totiž založena na půlení intervalů.
 
== Taylorova řada pro logaritmus ==
Pomocí vztahu pro Taylorův rozvoj, případně zintegrováním geometrické řady
:<math>\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots</math>▼
 
▲<math>\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots</math>
 
lze obdržet rozvoj logaritmu do řady kolem 1.
 
:<math>\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+ \cdots</math>
 
Tato řada má poloměr konvergence 1, řada přitom konverguje i pro krajní bod x=1, kde obdržíme známou řadu pro <math>\ln 2</math> (harmonická řada s oscilujícími znaménky):
 
:<math>\ln 2 = 1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \cdots</math>
 
Řadu pro logaritmus můžeme vyjádřit i pro komplexní číslo x=iy. Pak z předchozího víme, že jednak platí:
 
:<math>\ln (1+iy)= \ln \sqrt{1+y^2} +i \arctan y</math>
 
Stejně tak můžeme tento výraz vyjádřit pomocí řady:
 
:<math>\ln (1+iy) = iy + \frac{y^2}{2}-\frac{i y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+\cdots</math>
 
Porovnáním imaginárních částí získáváme řadu pro <math>\arctan</math>:
 
:<math>\arctan y = y - \frac{y^3}{3}+\frac{y^5}{5}-\cdots</math>
 
Speciálně dosazením y=1 dostaneme nejslavnější řadu pro Ludolfovo číslo:
 
:<math>\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots</math>
 
Tato řada, i přes svou krásu, konverguje velmi pomalu.
Řádek 146 ⟶ 145:
== Externí odkazy ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Logarithm.html Logaritmus v encyklopedii MathWorld] (anglicky)
* [http://www.beda.cz/~jirkaj/log Logaritmické tabulky čísel od 1 000 000 do 9 999 999] (česky)
 
[[Kategorie:Elementární funkce]]
Citováno z „https://cs.wikipedia.org/wiki/Logaritmus“