Parciální diferenciální rovnice: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
překlad článku sk:Parciálna diferenciálna rovnica udělátkem Česko-slovenské Wikipedie |
|||
Řádek 1:
'''Parciální diferenciální rovnice''' je v [[Matematika|matematice]] [[rovnice]] obsahující neznámou [[Funkce (matematika)|funkci]] několika nezávisle proměnných a její [[parciální derivace]] dle těchto proměnných. Nejvyšší z řádů parciálních derivací vyskytujících se v rovnici se nazývá řád parciální diferenciální rovnice.
Parciální diferenciální rovnice jsou zobecněním [[Obyčejná diferenciální rovnice|obyčejných diferenciálních rovnic]], které obsahují neznámou funkci jedné proměnné a její [[derivace]]. Každá obyčejná diferenciální rovnice je současně i parciální diferenciální rovnicí.
== Definice ==
Parciální diferenciální rovnice je [[Matematika|matematická]] [[rovnice]] tvaru:
<math>F\left(x_1,\ldots,x_n,u,\frac{\partial}{\partial x_1} u, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n} u, \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} u, \frac{\partial^2}{\partial x_1 \partial x_2} u, \ldots, \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} u, \ldots, \frac{\partial^k}{\partial x_1^k} u, \frac{\partial^k}{\partial x_1^{(k-1)} \partial x_2} u \ldots, \frac{\partial^k}{\partial x_n^k} u\right) = 0, </math>
kde <math>u(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> je neznámá funkce ''n'' proměnných. Číslo ''k'' se nazývá jako řád parciální diferenciální rovnice.
== Příklady ==
=== Elementární příklad ===
Uvažujeme parciální diferenciální rovnici:
<math>\frac{\partial}{\partial x} u(x,y) = 0 . \,</math>
Zjevně, řešením této rovnice jsou všechny [[Funkce (matematika)|funkce]] nezávislé na ''x'', proto lze obecné řešení zapsat jako:
<math>u(x,y) = f(y),\,</math>
kde ''f'' je libovolná funkce o jedné proměnné. Uvedená rovnice je analogií [[Obyčejná diferenciální rovnice|obyčejné diferenciální rovnice]]:
<math>\frac{\textrm{d}u(x)}{\textrm{d}x} = 0,</math>
jejímž řešením je libovolná konstanta ''c'' (nezávislá na ''x'').
=== Rovnice vedení tepla ===
Důležitým příkladem parciální diferenciální rovnice je [[rovnice vedení tepla]], která popisuje šíření tepla v tělesech v závislosti na [[čas]]u. Pro funkci <math>u(x,y,z,t),</math> kde <math>(x,y,z)</math> vyjadřuje polohu bodu v prostoru a ''t'' udává čas, má rovnice vedení tepla tvar:
<math>\frac{\partial u}{\partial t} -\alpha\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)=0,</math>
kde <math>\alpha</math> je konstanta.
=== Vlnová rovnice ===
[[Vlnová rovnice]] je parciální diferenciální rovnice druhého řádu, která se využívá pro popis [[vlnění]] ([[Akustika|akustického]], [[mechanické vlnění|mechanického]], [[Elektromagnetické záření|elektromagnetického]], atd.).
Obecně jde o typ rovnice, která se dá vyjádřit ve tvaru:
<math>\frac{1}{c^2}\frac{\part^2 z}{\part t^2} = \frac{\part^2 z}{\part x_1^2} + \frac{\part^2 z}{\part x_2^2} + ... + \frac{\part^2 z}{\part x_n^2},</math>
kde ''c'' je konstanta.
== Odkazy ==
=== Reference ===
{{Překlad|jazyk = sk|článek = Parciálna diferenciálna rovnica|revize = 5359829}}
=== Literatura ===
* Evans, LC: ''Partial Differential Equations.'' Springer, [[2010]].
* Farlow, SJ: ''Partial differential equations for scientists and engineers.'' Dover, [[1993]].
=== Externí odkazy ===
* [http://eqworld.ipmnet.ru/index.htm EqWorld] - stránka s informacemi o řešeních rovnic, včetně parciálních diferenciálních {{en}}.
* [http://mathworld.wolfram.com/PartialDifferentialEquation.html Parciální diferenciální rovnice] - MathWorld {{en}}
[[Kategorie:Diferenciální počet]]
| |||