Komplexní číslo: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m úprava odkazů |
typo, drobné doplnění |
||
Řádek 19:
Potřebujeme-li pracovat pouze s reálnou, resp. imaginární částí komplexního čísla <math>z \,\!</math>, používáme zápis
:<math>a = \mathrm{Re}(z) = \Re(z)</math>,
:<math>b = \mathrm{Im}(z) = \Im(z)</math>,
kde <math>a,b \,\!</math> jsou reálná čísla. Komplexní číslo <math>z \,\!</math> lze tedy také vyjádřit některým z následujících zápisů <math>z = a + \mathrm{i}b = \mathrm{Re}(z) + \mathrm{i} \mathrm{Im}(z) = \Re(z) + \mathrm{i} \Im(z) \,\!</math>.
S imaginární jednotkou se zachází jako s každým jiným číslem, proto je možné používat následujících zkrácených zápisů:
* <math> 0 + x
* <math> x + 0
* <math> 1
* <math> -1
=== Příklad ===
Řádek 48:
== Operace s komplexními čísly ==
=== Algebraický tvar komplexních čísel ===
Řádek 58 ⟶ 56:
[[Dělení|Podíl]] dvou komplexních čísel lze vyjádřit takto:
* <math> {a + ib \over c + id} = {(a + ib) (c - id) \over (c + i d) (c - i d)} = {(ac+bd) + i (bc-ad) \over c^2 + d^2} = \left({a c + b d \over c^2 + d^2}\right) + i \left( {b c - a d \over c^2 + d^2} \right). </math>
Řádek 73 ⟶ 70:
Každé komplexní číslo '''z''' různé od nuly je možné jednoznačně vyjádřit v [[goniometrie|goniometrickém]] tvaru. Pokud si v komplexní rovině zvolíme [[Polární soustava souřadnic|polární]] [[Soustava souřadnic|souřadnicový systém]], vzdálenost od počátku označíme ''|z|'' ([[absolutní hodnota]], také nazývaná norma nebo modul) a orientovaný [[úhel]] <math>\phi = JOZ</math> (argument), kde J[1;0], O je počátkem soustavy a Z je obraz komplexního čísla ''a'' + ''bi'' se souřadnicemi Z[''a'';''b''], platí:
<math>z=|z|(\cos \varphi + i
Absolutní hodnotu z algebraického tvaru komplexního čísla <math>z = a + bi</math> lze vyjádřit takto: <math>|z| = \sqrt{ a^2 + b^2 }</math>.<br />
Argument <math>\varphi</math> lze vyjádřit ze vztahů: <math>\cos \varphi = \frac{a}{|z|}</math> a <math>\sin \varphi = \frac{b}{|z|}</math>
Pro dělení komplexních čísel <math>z_1=|z_1| \cdot (\cos \varphi_1 + i \cdot \sin \varphi_1)</math> a :<math>z_2=|z_2| \cdot (\cos \varphi_2 + i \cdot \sin \varphi_2)</math> platí následující rovnice:
:<math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|
Pro násobení komplexních čísel ''z''<sub>1</sub> a ''z''<sub>2</sub> z předchozího příkladu slouží vzorec:
:<math>z_1
Pro ''n''-tou [[umocňování|mocninu]] komplexní čísla v goniometrickém tvaru platí tzv. [[Moivreova věta]]:
:<math>z^n = |z|^n (\cos n\varphi + i\sin n\varphi) \,</math>
Pro převod komplexních čísel z goniometrického tvaru na algebraický stačí zjistit hodnotu <math>\cos \varphi</math> a <math>\sin \varphi</math> a roznásobit závorku jako při práci s klasickým mnohočlenem.
=== Komplexní funkce ===
Komplexní funkce reálné proměnné je [[Funkce (matematika)|funkce]], jejímž [[definiční obor|definičním oborem]] jsou reálná čísla a [[obor hodnot|oborem hodnot]] jsou komplexní čísla.
Platí: ''h''(''x'') = ''f''(''x'') + ''ig''(''x'')
Řádek 99 ⟶ 92:
Obrazem takovéto funkce v Gaussově rovině je množina všech bodů ''X'' = [''f''(''x''),''g''(''x'')], kde ''x'' je z definičního oboru funkce.
Širším pojmem je funkce komplexní proměnné, jejímž definičním oborem jsou komplexní čísla. Studiem těchto funkcí se zabývá [[komplexní analýza]]. V tomto oboru se podařilo odhalit mnohé souvislosti mezi rozdílnými funkcemi reálné proměnné. Příkladem je [[Eulerův vzorec]], často využívaný při práci s komplexními čísly, ze kterého vyplývá i vztah mezi základními matematickými [[konstanta]]mi
:<math>e^{i\pi} + 1 = 0 \, </math>,
oblíbený nejen mezi matematiky.
Komplexní analýza nabídla nové nástroje i reálné analýze, např. pro výpočet integrálů ([[Cauchyho vzorec]], [[reziduová věta]]) a našla široké uplatnění ve fyzice a technických aplikacích, např. při výpočtech fyzikálních polí a matematickém modelování proudění tekutin v hydrodynamice a aerodynamice.
== Základní vlastnosti tělesa komplexních čísel==
Komplexní čísla s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní [[těleso (algebra)|těleso]]. Je to největší komutativní algebraické nadtěleso reálných čísel a [[algebraický uzávěr]] tělesa reálných čísel. Toto těleso nelze okruhově uspořádat, protože <math>i^2=-1<0</math>.
| |||