Věty o dimenzi: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
mBez shrnutí editace |
→Důkaz: Proveden důkaz první věty |
||
Řádek 14:
=== Důkaz ===
Pokud je <math> \scriptstyle P</math> podprostor prostoru <math> \scriptstyle Q</math>, tj. <math> \scriptstyle P \subset \subset Q</math>, tak tvrzení věty zjevně platí, neboť pak <math> \scriptstyle Q = P + Q</math>, <math> \scriptstyle P = P \cap Q</math> a <math> \scriptstyle \dim P = \dim (P \cap Q)</math>, <math> \scriptstyle \dim Q = \dim (P + Q)</math>. Totožně by se postupovalo, byl-li by <math> \scriptstyle Q</math> podprostorem <math> \scriptstyle P</math>. Nechť tedy dále není ani jeden podprostor podmnožinou toho druhého. V obou podprostorech určitě leží [[nulový vektor]], můžeme proto rozlišit případ, kdy je průnik <math> \scriptstyle P \cap Q = \{ \vec{0} \}</math> a kdy v průniku leží i nějaký nenulový vektor. Předpokládejme nejprve druhou zmíněnou možnost, tzn. v průniku obou podprostorů leží nenulový vektor. Protože [[průnik]] podprostorů je opět podprostor je tato podmínka ekvivalentní tomu, že průnik <math> \scriptstyle P</math> a <math> \scriptstyle Q</math> je [[Vektorový podprostor|netriviální podprostor]]. Z konečnosti dimenzí <math> \scriptstyle P</math> a <math> \scriptstyle Q</math> musí být tento podprostor konečněrozměrný, nechť <math> \scriptstyle \dim (P \cap Q) = n \ < \ + \infty</math>. V <math> \scriptstyle P \cap Q</math> tedy existuje <math> \scriptstyle n</math>-členná báze <math> \scriptstyle \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n \}</math>. Nechť <math> \scriptstyle \dim P = p \ < \ + \infty </math> a <math> \scriptstyle \dim Q = q \ < \ + \infty </math>. Je zřejmé, že <math> \scriptstyle n < p, n < q</math>. Myšlenka důkazu je taková, že bázi průniku doplníme na bázi prostorů <math> \scriptstyle P</math> a <math> \scriptstyle Q</math>. Z toho už bude tvrzení věty ihned vyplývat. Protože <math> \scriptstyle P \cap Q \subset P</math> a <math> \scriptstyle P \cap Q \subset Q</math>, lze zřejmě doplnit bázi průniku <math> \scriptstyle P \cap Q</math> jednak na bázi prostoru <math> \scriptstyle P</math>, jednak na bázi prostoru <math> \scriptstyle Q</math>. Označme bázi prostoru <math> \scriptstyle P</math> a prostoru <math> \scriptstyle Q</math> po řadě
:<math> \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n, \vec{e}^P_1, \ldots, \vec{e}^P_{p - n}\}, \quad \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n, \vec{e}^Q_1, \ldots, \vec{e}^Q_{q - n} \},</math>
kde jsme vektory <math> \scriptstyle \vec{e}^P_i</math>, resp. <math> \scriptstyle \vec{e}^Q_i</math>, doplnily bázi průniku na bázi prostoru <math> \scriptstyle P</math>, resp. <math> \scriptstyle Q</math>.
Abychom měli všechny ingredience potřebné pro dokončení důkazu, potřebujeme ještě najít vhodnou bázi součtu podprostorů <math> \scriptstyle P + Q</math> (součet podprostorů je opět podprostor). Ukážeme, že množina vektorů
:<math> \mathcal{E} = \{ \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n, \vec{e}^P_1, \ldots, \vec{e}^P_{p - n}, \vec{e}^Q_1, \ldots, \vec{e}^Q_{q - n}\}</math>
je naší vhodnou bází tohoto prostoru. Aby výše uvedená množina vektorů byla bází, musí generovat celý prostor <math> \scriptstyle P + Q</math> a současně musí být lineárně nezávislá. První vlastnost je zřejmá z toho, jak jsme tuto množinu vektorů zkonstruovali. Dokažme tedy lineární nezávislost. Mějme tedy lineární kombinaci výše uvedených vektorů, dávající nulový vektor
:<math> \vec{0} = \alpha_1 \vec{e}_1 + \ldots + \alpha_n \vec{e}_n + \beta_1 \vec{e}^P_1 + \ldots + \beta_{p - n} \vec{e}^P_{p - n} + \gamma_1 \vec{e}^Q_1 + \ldots + \gamma_{q - n} \vec{e}^Q_{q - n} = \sum_{i = 1}^n \alpha_i \vec{e}_i + \sum_{i = 1}^{p - n} \beta_i \vec{e}^P_i + \sum_{i = 1}^{q - n} \gamma_i \vec{e}^Q_i.</math>
Chceme ukázat, že všechny koeficienty <math> \alpha_i, \beta_i, \gamma_i </math> už musí být nutně nulové. Přepišme si tuto lineární kombinaci do tvaru
:<math> \sum_{i = 1}^n \alpha_i \vec{e}_i + \sum_{i = 1}^{p - n} \beta_i \vec{e}^P_i = -\sum_{i = 1}^{q - n} \gamma_i \vec{e}^Q_i.</math>
Na levé straně máme vektor z prostoru <math> \scriptstyle P</math>, na druhé straně rovnosti pak vektor z <math> \scriptstyle Q</math>. Z rovnosti tedy plyne, že se jedná o vektor z průniku <math> \scriptstyle P \cap Q</math>. Lze ho tedy napsat jako lineární kombinaci
:<math> \sum_{i = 1}^n \tilde{\alpha}_i \vec{e}_i,</math>
pro jisté koeficienty <math> \scriptstyle \tilde{\alpha}_i</math>. Dostáváme tak dvě rovnosti
:<math> \sum_{i = 1}^n \alpha_i \vec{e}_i + \sum_{i = 1}^{p - n} \beta_i \vec{e}^P_i = \sum_{i = 1}^n \tilde{\alpha}_i \vec{e}_i, \quad \sum_{i = 1}^n \tilde{\alpha}_i \vec{e}_i = -\sum_{i = 1}^{q - n} \gamma_i \vec{e}^Q_i,</math>
které si můžeme zapsat způsobem
:<math> \sum_{i = 1}^n (\alpha_i - \tilde{\alpha}_i) \vec{e}_i + \sum_{i = 1}^{p - n} \beta_i \vec{e}^P_i = \vec{0}, \quad \sum_{i = 1}^n \tilde{\alpha}_i \vec{e}_i + \sum_{i = 1}^{q - n} \gamma_i \vec{e}^Q_i = \vec{0}.</math>
První rovnice obsahuje lineární kombinaci bazických vektorů prostoru <math> \scriptstyle P</math> rovnající se nulovému vektoru. Koeficienty u těchto vektorů tedy musí být nulové. Podobně i pro druhou rovnici, kde vystupují bazické vektory prostoru <math> \scriptstyle Q</math>. Máme tedy
:<math> (\forall i \in \{ 1, \ldots, n \})(\alpha_i - \tilde{\alpha}_i = 0) \ \wedge \ (\forall i \in \{ 1, \ldots, p - n \})(\beta_i = 0), \quad (\forall i \in \{ 1, \ldots, n \})(\tilde{\alpha}_i = 0) \ \wedge \ (\forall i \in \{ 1, \ldots, q - n \})(\gamma_i = 0).</math>
Všechny koeficienty jsou tedy nulové a my jsme tím ukázali, že množina <math> \scriptstyle \mathcal{E}</math> je bází prostoru <math> \scriptstyle P + Q</math>. Protože tato báze obsahuje <math> \scriptstyle n + (p - n) + (q - n)</math> vektorů, máme <math> \scriptstyle \dim (P + Q) = p + q - n</math>. Celkově
:<math> \dim (P + Q) + \dim (P \cap Q) = (p + q - n) + n = p + q = \dim P + \dim Q,</math>
což jsme měli dokázat. Zbývá ještě případ, kdy <math> \scriptstyle P \cap Q = \{ \vec{0} \}</math>. Platí tedy <math> \scriptstyle \dim (P \cap Q) = 0 </math>. Postupem analogickým tomu výše se ukáže, že <math> \scriptstyle \dim (P + Q) = p + q = \dim P + \dim Q.</math>
== Druhá věta o dimenzi ==
| |||